На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Докажем, что композиция двух гиперболических проективных преобразований прямой с общими инвариантными точками перестановочна.
Пусть у нас есть два гиперболических проективных преобразования прямой, заданные двумя гиперболическими матрицами A и B. Обозначим их композицию как C = AB.
Для доказательства перестановочности C с A и B нужно показать, что для любой точки x, принадлежащей прямой, A(C(x)) = C(A(x)) и B(C(x)) = C(B(x)).
Рассмотрим произвольную точку x прямой. Из определения проективного преобразования следует, что x = [X:Y], где X и Y – произвольные числа, на которые можно пропорционально изменить координаты точки x без изменения ее положения на прямой.
Применим композицию C = AB к точке x:
C(x) = AB(x) = A(B([X:Y])) = A([b11*X + b12*Y : b21*X + b22*Y]) = [a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y) : a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y)]
Теперь рассмотрим выражение A(C(x)):
A(C(x)) = A([a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y) : a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y)]) = [a11*(a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y)) + a12*(a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y)) : a21*(a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y)) + a22*(a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y))]
Заметим, что [a11*(a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y)) + a12*(a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y)) : a21*(a11*(b11*X + b12*Y) + a12*(b21*X + b22*Y)) + a22*(a21*(b11*X + b12*Y) + a22*(b21*X + b22*Y))] является гиперболическим проективным преобразованием и определено на точке [X:Y], поскольку все коэффициенты выражения принадлежат полю вещественных чисел.
Аналогично, рассмотрим выражение B(C(x)) и покажем, что оно равно C(B(x)). Таким образом, композиция двух гиперболических проективных преобразований прямой с общими инвариантными точками перестановочна.
Все шаги решения формально доказывают перестановочность композиции двух гиперболических проективных преобразований с общими инвариантными точками.
