10. Точки P, M, Q и N — середины соответственно сторон АВ, ВС CD и DA трапеции ABCD (BC || AD). Докажите, что прямые MN AQ и DP пересекаются в одной точке.

Доказательство можно провести с использованием свойства подобных треугольников. Рассмотрим треугольники APQ и DPM.

Шаг 1: Докажем, что стороны треугольников APQ и DPM пропорциональны.

Строим отрезки AN и DM. Так как N и M – середины сторон АD и BC соответственно, то отрезки AN и DM делят их пополам.

Теперь рассмотрим следующие отношения длин отрезков:
AN/AD = 1/2 и DM/BC = 1/2.

Так как BC || AD, углы BCD и ACD в смежных вершинах комплементарны, следовательно, треугольники ADC и DBC подобны, и AN/AD = DM/BC.

Шаг 2: Докажем, что углы треугольников APQ и DPM равны.

Отметим, что углы DPA и MQA являются смежными углами и, следовательно, равными. С другой стороны, так как AB || CD, углы DPA и MQA являются дополнительными углами к углам ADC и BCD соответственно, значит, они также равны.

Шаг 3: Докажем, что треугольники APQ и DPM подобны.

Из шага 1 следует, что стороны треугольников APQ и DPM пропорциональны. Из шага 2 следует, что углы APQ и DPM равны. Значит, треугольники APQ и DPM подобны.

В результате, по теореме о соответствующих сторонах подобных треугольников, прямые MN и DP пересекаются в одной точке.

Таким образом, прямые MN и AQ пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.