в треугольнике ABC на продосжении стороны BC за точку C отложен отрезок CD, равный CA, и точки A и D соединены отрезком, CE – биссектриса треугольника ACB, а CF – медиана треугольника ACD. Докажите, что CF перпендикулярен CE​

Доказательство:

1. Пусть M – середина стороны AB треугольника ABC.
2. Так как CD = CA, то треугольники CAB и CDA равны по стороне, поэтому у них равны соответствующие углы C и ACD.
3. Так как CE – биссектриса треугольника ACB, то углы ACE и BCE равны между собой.
4. Значит, угол BCE также равен углу ACD (по свойству биссектрисы).
5. Также, угол MCA также равен углу ACD, так как они соответственные углы треугольников CAB и CDA.
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что угол BCE равен углу MCA.
7. Так как CF – медиана треугольника ACD, то угол ACF равен углу DCM (по свойству медианы).
8. Отсюда следует, что угол BCE также равен углу ACF.
9. Из пунктов 6 и 8 следует, что угол BCE равен углу ACF и равен углу ACE.
10. Значит, треугольник CEF – равнобедренный, так как у него два равных угла.
11. Так как у равнобедренного треугольника основание перпендикулярно высоте, то CF перпендикулярно CE.

Таким образом, мы доказали, что CF перпендикулярно CE.