Точка A лежит на стороне LM треугольника KLM с углом 120◦ при вершине K. В треугольники AKL и AKM вписаны окружности с центрами F и O соот- ветственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника FKO, если AO = 2, AF = 7.

Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника FKO, через R. Также пусть M – середина стороны KL, и пусть N – точка пересечения окружности с центром O и стороны KL. Так как ∠AKM = ∠AFK = 90°, то AF = AN.

Рассмотрим треугольники AKO и ANK. У них две равные стороны AO и AN. Из этих равенств следует, что ∠OAK = ∠NAK. Также, так как треугольник AKL является равнобедренным (то есть AK = AL), то ∠ALM = ∠KLM. Отсюда следует, что ∠AKM = 180° – ∠ALM – ∠KLM = 180° – (120° + ∠KLM) = 60° – ∠KLM = ∠MAK.

Таким образом, треугольник OAK подобен треугольнику NKA по признаку углу-при-угле. Тогда, используя равенство сторон AO = AN, получаем, что треугольник AKO тоже равен треугольнику ANK. Отсюда следует, что ∠OKA = ∠KNA и ∠OAK = ∠ANK.

Из этих равенств следует, что треугольники FKO и FNA равны по теореме об угле- при-угле. Значит, их стороны соответственно пропорциональны. Тогда FK/AF = OK/AN.

Рассмотрим треугольник AKO. Так как AF = 7 и AO = 2, то по теореме Пифагора получаем, что AK = √(7^2 – 2^2) = √(49 – 4) = √45.

Также, так как M – середина стороны KL, то MK = 1/2 KL. Так как ∠MKO прямой, то по теореме Пифагора получаем, что

KO^2 = MK^2 + MO^2 = (1/4) KL^2 + R^2.

Из треугольника AKM следует, что KL = 2AK = 2√45. Подставляя это выражение в предыдущее, получаем

KO^2 = (1/4) (2√45)^2 + R^2 = 45 + R^2.

Также, по теореме Пифагора в треугольнике AFO получаем, что

AF^2 = AO^2 + OF^2 = 4 + OF^2.

Следовательно, OF = √(AF^2 – AO^2) = √(49 – 4) = √45.

Теперь мы можем записать соотношение FK/AF = OK/AN как FK/7 = KO/√45. Решая это уравнение относительно FK, получаем

FK = 7*(KO/√45) = 7*(√(45 + R^2)/√45) = 7√(1 + R^2/45).

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника FKO, равен 7√(1 + R^2/45).