Окружность W проходит через вершины C и D параллелограмма ABCD С острым углом А и касается стороны AB в точке B. Прямые AC и AD второй раз пересекают окружность W в точках E и F соответственно.Найдите, в каком отношении прямая EF делит отрезок AB.

Обозначим точку касания окружности W с стороной AB как P.

1. Так как окружность W касается стороны AB в точке B, то отрезок BP является радиусом окружности. Обозначим радиус окружности как r.

2. Рассмотрим треугольник BCP. Он является прямоугольным, так как радиус BP и сторона AB, являющаяся касательной в точке B, взаимно перпендикулярны.

3. Пусть точка O — центр окружности W. Рассмотрим треугольник BCO. Он также является прямоугольным, так как радиус CO и сторона AB, являющаяся касательной в точке B, взаимно перпендикулярны.

4. Так как треугольники BCP и BCO имеют по одному прямому углу и углы BCP и BCO являются прямыми (из пункта 2 и 3), мы можем заключить, что треугольники BCP и BCO подобны.

5. Так как треугольники BCP и BCO подобны, отношение их сторон будет равно отношению их высот:

$frac{BP}{BO} = frac{CP}{CO}$

6. Заметим, что CP — это прямая, проходящая через точку C и диагональ AD параллелограмма ABCD. А значит, она также проходит через точку F (поскольку FD — диаметр окружности и угол ODF вписанный). Аналогично, BO — это прямая, проходящая через точку B и диагональ AD.
7. Таким образом, EF параллельно BO и BP.

Ответ: прямая EF делит отрезок AB в том же отношении, в котором делит отрезок BO, т.е. отношение BP к BO.