В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АВ так, что АК:КВ=1:3. Точка М лежит на стороне ВС так, что ВМ:МС=3:2. АМ пересекает СК в точке О. ВО пересекает АС в точке Т. Найдите отношение площадей треугольников ABT:BTC.

Обозначим точку пересечения АМ и СК как О, точку пересечения ВО и АС как Т. Заметим, что треугольник АМО подобен треугольнику КСВ, поскольку у них соответствующие стороны параллельны. Также треугольник ВОТ подобен треугольнику САТ, так как у них соответствующие стороны параллельны.

Таким образом, АК/КВ = АО/ОМ и ВМ/МС = ОТ/ТС.

По условию, АК/КВ = 1/3 и ВМ/МС = 3/2.

Заметим, что ОМ = МС + ОТ, и подставим соответствующие значения: 1/3 = АО/(МС + ОТ) и 3/2 = ОТ/ТС.

Разрешим уравнение для АО: АО = МС + ОТ – 3ОТ/2 = МС – ОТ/2.

Подставим это значение в первое уравнение: 1/3 = (МС – ОТ/2)/(МС + ОТ).

Упростим это уравнение: 1/3 = (2МС – ОТ)/(2МС + ОТ).

Сократим обе стороны уравнения на МС: (1/3)МС = 2МС – ОТ.

Упростим это уравнение: ОТ = 5/3 МС.

Теперь, зная это значение, можем выразить отношение площадей треугольников ABT и BTC. Обозначим площади треугольников как [ABT] и [BTC] соответственно.

Отношение площадей треугольников равно отношению площадей их баз и высот. Так как АТ и СТ – это высоты, [ABT]/[BTC] = АТ/СТ.

АТ/СТ = (АМ + МТ)/(МС + ОТ).

Подставим выраженные значения: [ABT]/[BTC] = (АМ + МТ)/(МС + 5/3 МС).

Упростим это выражение: [ABT]/[BTC] = (АМ + МТ)/(8/3 МС).

Таким образом, отношение площадей треугольников ABT и BTC равно (АМ + МТ)/(8/3 МС).