.Ребро куба равно 4 см. Через диагональ основания под углом в 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребром. Найдите площадь треугольника DLB.

Обозначим точку D как вершину куба, а точки A и B – точки пересечения плоскости с боковым ребром, как показано на рисунке. Поскольку плоскость проходит через диагональ основания под углом 45°, она также проходит через центр основания куба.

D ____________ C
/| / |
/ | / |
/ | / |
/ | / |
A____|______B |
| | | |
| | | |
| /E | |
| / | /
|/_____ | /
F G | /
| |/
H I

Длина стороны куба равна 4 см, поэтому диагональ основания (AC) равна √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2 см.

Также имеем перпендикулярную проекцию диагонали основания (FH) на боковое ребро куба, которая равна длине стороны куба (4 см).

Таким образом, треугольник ADF – это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC и катетами 4√2 и 4.

Площадь треугольника ADF можно найти, используя формулу: S = (1/2) * a * b, где a и b – длины катетов.

S = (1/2) * 4√2 * 4 = 8√2

Теперь обратимся к треугольнику DLB. Треугольник DLB является равнобедренным треугольником с основанием DL и равными боковыми сторонами AD и BD. Таким образом, DL = AD = BD = 4√2 см.

Поскольку у равнобедренного треугольника биссектрисы перпендикулярны основанию, в треугольнике DLB угол β между биссектрисой DL и стороной DB равен 45°.

Таким образом, для нахождения площади треугольника DLB можно использовать формулу: S = (1/2) * a * b * sin(β), где a и b – длины равных сторон, а β – угол между ними.

S = (1/2) * 4√2 * 4√2 * sin(45°) = (1/2) * 16 * sin(45°) = 8 * (1/√2) * (1/2) = 4 см²

Таким образом, площадь треугольника DLB равна 4 см².