В треугольнике ABC отмечены середины P,R и T и сторон AB, BC, AC соответственно. Площадь треугольника ABC равна 116. Найдите площадь четырёхугольника APRT.

Перейдем к решению задачи. Обозначим точки середин сторон треугольника ABC как P, R и T, а площади треугольников BPC, APC и APB как S1, S2 и S3 соответственно. Известно, что каждая из этих площадей равна половине площади треугольника ABC.

Так как площадь треугольника определяется как (основание * высота) / 2, мы можем использовать эту формулу для вычисления площадей BPC, APC и APB.

Поскольку каждый из треугольников BPC, APC и APB имеет одинаковую высоту (проведенную из вершины A до прямой BC), мы можем предположить, что их основания равны.

Теперь рассмотрим треугольник PRT. Поскольку точки P, R и T являются серединами сторон треугольника ABC, мы можем сделать вывод, что треугольник PRT является подобным треугольнику ABC. Это означает, что соотношение сторон треугольников будет одинаково.

Таким образом, отношение длины сторон треугольников PRT и ABC будет равно 1/2.

Поскольку площадь треугольника определяется как (основание * высота) / 2, а отношение сторон треугольников PRT и ABC равно 1/2, мы можем сделать вывод, что площадь треугольника PRT будет равна 1/4 площади треугольника ABC.

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 116, поэтому площадь четырехугольника APRT будет равна (1/4 * 116) = 29.

Итак, площадь четырехугольника APRT равна 29.

Шаги решения:
1. Обозначить точки середин сторон треугольника ABC как P, R и T.
2. Найти площадь треугольников BPC, APC и APB как половину площади треугольника ABC.
3. Предположить, что треугольник PRT подобен треугольнику ABC и применить соотношение длин сторон.
4. Используя формулу для площади треугольника, вычислить площадь треугольника PRT.
5. Найти площадь четырехугольника APRT как 1/4 площади треугольника ABC.