В треугольнике ABC проведены медианы AM и CK. Периметры треугольников ACK и BCK равны, а периметр треугольника ABC равен 26 см. Найдите разность треугольников ABM и ACM, если AB = 10 см.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: AB + BC + CA = 26 см.

Так как AB = 10 см, то BC + CA = 16 см.

Известно, что AM и CK – медианы треугольника ABC. Медиана треугольника делит ее сторону пополам, поэтому AM = BM и CK = BK.

По условию, периметр треугольников ACK и BCK равен, значит, BC + CK + KA = BC + BK + AK.

Так как CK = BK и KA = AK, получаем, что CK = BK = AK.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC и высотой AM. Так как AM – медиана, то AM делит основание BC пополам.

Таким образом, AM = MB = 5 см, а BM = BC/2 = 8 см.

Для нахождения разности треугольников ABM и ACM, найдем их периметры и вычтем их:

Периметр треугольника ABM = AB + BM + AM = 10 см + 8 см + 5 см = 23 см.

Периметр треугольника ACM = AM + MC + AC.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AC = BC = 16 см.

Так как AM = MC = 5 см, то периметр треугольника ACM = 5 см + 5 см + 16 см = 26 см.

Разность периметров треугольников ABM и ACM равна: ABM – ACM = 23 см – 26 см = -3 см.

Таким образом, разность треугольников ABM и ACM равна -3 см.