Точка А отрезка АВ принадлежит плоскости. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если расстояние от середины этого отрезка до плоскости равно 5.

Плоскость, содержащая отрезок AB, можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) — нормальный вектор к плоскости.

Поскольку точка A лежит на плоскости, ее координаты (x_A, y_A, z_A) должны удовлетворять уравнению плоскости:

A*x_A + B*y_A + C*z_A + D = 0

Плоскость, содержащая AB, также проходит через его середину, которую мы обозначим как M. Тогда координаты M равны:

x_M = (x_A + x_B) / 2
y_M = (y_A + y_B) / 2
z_M = (z_A + z_B) / 2

Расстояние от точки M до плоскости можно найти как модуль скалярного произведения нормального вектора плоскости на вектор PM, где P — любая точка на плоскости:

расстояние_PM = |A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – z_P)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Так как расстояние от середины отрезка до плоскости равно 5, получаем:

5 = |A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – z_P)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Сократим на sqrt(A^2 + B^2 + C^2):

5*sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = |A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – z_P)|

Так как точка A находится на плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

A*x_A + B*y_A + C*z_A + D = 0

Используя это уравнение, выразим z_P:

z_P = (-A*x_P – B*y_P – D) / C

Подставим выражение для z_P в уравнение расстояния_PM:

5*sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = |A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – (-A*x_P – B*y_P – D) / C)|

Разложим модуль на два случая:

1. A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – (-A*x_P – B*y_P – D) / C) >= 0:

5*sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – (-A*x_P – B*y_P – D) / C)

2. A*(x_M – x_P) + B*(y_M – y_P) + C*(z_M – (-A*x_P – B*y_P – D) / C) < 0:

5*sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = -A*(x_M – x_P) – B*(y_M – y_P) – C*(z_M – (-A*x_P – B*y_P – D) / C)

В обоих случаях найдем значение x_P и y_P. Затем, используя значение x_P, y_P и уравнение плоскости, найдем значение z_P. После этого вычислим расстояние от точки B до плоскости, используя координаты B и найденные значения x_P, y_P, z_P.

Шаги решения на русском языке:
1. Запишем уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D = 0.
2. Запишем координаты точки A и середины отрезка M.
3. Запишем уравнение, связывающее координаты точки A и M с координатами точки P на плоскости.
4. Запишем уравнения для двух случаев модуля.
5. Разрешим уравнения для x_P и y_P в каждом случае.
6. Используя значения x_P и y_P, найдем z_P, используя уравнение плоскости.
7. Вычислим расстояние от точки B до плоскости, используя координаты B и найденные значения x_P, y_P, z_P.
8. Выведем ответ.