В треугольнике ABC с площадью 100 на сторонах AB, BC и AC взяты точки K, L и M такие, что AK : KB = 1 : 5, BL : LC = 1 : 1 (точка L – середина стороны BC) и AM : MC = 2 : 1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке F, BM и CK – в точке G, AL и CK – в точке E. Найдите площадь треугольника EFG. Если Вы считаете, что для получения ответа не хватает данных, или задача составлена некорректно, в поле для ответа запишите −100 (минус сто).

Построим параллелограмм EDCK, где ED∥AB и DK∥MC.

Заметим, что DL∥BC, так как точка L является серединой стороны BC.

Тогда, по теореме Талеса, из подобия треугольников BMF и FKG получаем, что MF : FG = BM : GK.

MF = BM – BF = BM – (BK – FK) = BM – (BK – (DL – DK)) = BM – (BK – (DL – DL/3)) = BM – (BK – 2/3 DL) = (2BM + 2/3 DL – BK).

Из подобия треугольников AKL и LME получаем, что AK : KL = LM : ME.

AK = Al + KL = Al + (BM + BK)/3 = (Al + BM)/3.

Тогда AK : KL = (Al + BM)/3 : KL = (Al + BM)/3 : LM = AK : LC.

Применим теорему Талеса к треугольникам ACE и CKL.

Так как AK : LC = AK : KL = ME : EC.

Тогда AE ∥ CK.

Мы получили, что EK ∥ AC и EK ∥ BC.

Применим теперь теорему Менелая к треугольнику BMC и прямым FEG и KDG.

(2BM + 2/3 DL – BK) / (BK – 2/3 DL) * (2/3 DL) * (FG / GM) = 1.

FG / GM = (BK – 2/3 DL) / (2BM + 2/3 DL – BK).

GM = BM – BG = BM – (BK – 2/3 DL) = (3BM – BK + 2/3 DL) / 3.

Тогда FG = (3BM – BK + 2/3 DL) / 3 * (BK – 2/3 DL) / (2BM + 2/3 DL – BK).

Применим теперь теорему Менелая к треугольнику BAC и прямым KFG и ECG.

(AK + KL)/LC * (FG/GM) * (MC/CA) = 1.

(AK + KL)/LC * (FG/GM) * (MC/CA) = ((Al + BM)/3 + (BM + BK)/3)/LC * (FG/GM) * 1/3 = AK/LC * (FG/GM) * 1/3.

Тогда AK/LC * (FG/GM) = 1.

То есть (BK – 2/3 DL) / (2BM + 2/3 DL – BK) = 1.

То есть BK – 2/3 DL = 2BM + 2/3 DL – BK.

Тогда 3BK = 3BM + 4/3 DL.

BK = BM + 4/9 DL.

Используя площади, из подобия треугольников EKM и ELC получаем, что

(S_EKM / S_ELC) = (EK / EL)^2.

(S_EKM / S_ELC) = (3BM + DL) / (BK + KL).

(S_EKM / S_ELC) = (3BM + DL) / (BM + DL + BM/5).

Тогда S_EKM = S_ELC * ((3BM + DL) / (BM + DL + BM/5)).

Применим площади к треугольнику ELC и FLM.

(S_ELC / S_FLM) = (EL / ML).

(S_ELC / S_FLM) = (BM + DL + BM/5) / (5BM/3 + DL + BM).

Тогда S_ELC = S_FLM * ((BM + DL + BM/5) / (5BM/3 + DL + BM)).

Применим площади к треугольникам FLM и ABC.

(S_FLM / S_ABC) = (FL / AC).

(S_FLM / S_ABC) = ((BK + KL) / LC) / (AK + KL)/LC.

(S_FLM / S_ABC) = (BK + KL) / (AK + KL) = (BK + KL) / (Al + BM)/3.

Тогда S_FLM = S_ABC * ((BK + KL) / (Al + BM)/3).

Таким образом, S_EKM = S_ABC * ((3BM + DL) / (BM + DL + BM/5)) * ((BM + DL + BM/5) / (5BM/3 + DL + BM)) * ((BK + KL) / (Al + BM)/3) = S_ABC.

S_EKM = S_ABC.

Ответ: площадь треугольника EFG равна площади треугольника ABC, то есть 100.