В равнобедренном треугольнике ABC на основании CB отметили точки N и K так, что CN=KB (точка N лежит между C и K). Докажите, что угол CAN равен углу BAK

Предположим, что угол CAN не равен углу BAK.

На рисунке ниже изображен треугольник ABC с точками N и K на его основании CB.

“`
A
/
/
/
/______
B C K N
“`

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то углы CAN и BAK должны быть равными.

Рассмотрим угол BAK. Если углы CAN и BAK различны, то угол BAN больше угла BAK.

Построим окружность, проходящую через точку N и с центром в точке A. Так как AB = AC, эта окружность будет образовывать радиус, который будет в точности проходить через точку C.

На рисунке ниже изображена окружность с центром в точке A и радиусом AC.

“`
A
|
|
|
|
C____|____ BAK
N K
“`

Так как CN = KB, точка N должна лежать на этой окружности. Но по условию точка N находится между точками C и K, что невозможно, так как точка N не может быть внутри окружности с радиусом, пролегающим через точку C.

Следовательно, предположение о том, что угол CAN не равен углу BAK, ложно. Значит, угол CAN равен углу BAK, что и требовалось доказать.