На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть дана трапеция ABCD, в которую можно вписать окружность с радиусом r. Основания трапеции обозначим как a и b, высоту обозначим как h.
Шаг 1: Используем свойства окружности, вписанной в трапецию. Заметим, что радиус окружности r будет равен половине разности оснований (r = (b – a) / 2).
Шаг 2: Найдем радиус окружности, вписанной в трапецию, через высоту h. Для этого рассмотрим треугольник AEM, где E – точка касания окружности с основанием AD, а M – середина основания AD.
Шаг 3: В треугольнике AEM проведем высоту HM, которая будет равна радиусу окружности r.
Шаг 4: Определим высоту HM через основания трапеции и высоту h. Заметим, что HM = h – r.
Шаг 5: Используем теорему Пифагора в треугольнике AEM: AM^2 = AE^2 + EM^2.
Шаг 6: Зная, что AM = (a + b) / 2 и AE = r, подставляем значения и получаем ((a + b) / 2)^2 = r^2 + EM^2.
Шаг 7: Раскрываем квадрат, получаем (a^2 + 2ab + b^2) / 4 = (b – a)^2 / 4 + EM^2.
Шаг 8: Сокращаем общий знаменатель и упрощаем уравнение: a^2 + 2ab + b^2 = b^2 – 2ab + a^2 + 4EM^2.
Шаг 9: Выражаем EM^2: EM^2 = ab.
Шаг 10: Подставляем данное значение EM^2 в уравнение и получаем a^2 + 2ab + b^2 = b^2 – 2ab + a^2 + 4ab.
Шаг 11: Упрощаем выражение и получаем 4ab = 4ab.
Шаг 12: Видим, что все выражения равны между собой.
Шаг 13: Следовательно, мы доказали, что площадь трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению ее оснований a и b.
