На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки Z, Y и X соответственно. Известно, что AZ=45, BZ=30, площадь треугольника ABX равна 800 и что площадь четырёхугольника BXYZ тоже равна 800. Чему равна площадь треугольника ABC?

Пусть площадь треугольника ABC равна S. Так как площадь треугольника ABX равна 800, то высота, опущенная из вершины B на основание AX равна 1600/S (поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту). Опустим, также, высоту из вершины C на основание BX и обозначим ее h.

Так как площадь четырёхугольника BXYZ равна 800, то S = площадь треугольника ABX + площадь треугольника BXC.

Площадь треугольника ABX равна половине произведения основания AX на высоту из вершины B на это основание (т.е. высоте!). Зная, что высота равна 1600/S, мы можем записать: 800 = (AX * (1600/S)) / 2.

Аналогично, площадь треугольника BXC равна половине произведения основания BX на высоту из вершины C на это основание (т.е. тоже высоте!). Мы можем записать это уравнение: 800 = (BX * h) / 2.

Мы знаем, что AZ = 45 и BZ = 30. Тогда AX = 45 + 30 = 75.

Теперь можем решить уравнения для оснований AX и BX. Из уравнения 800 = (AX * (1600/S)) / 2 получаем AX = (1600/S) * 3200 = 3200/S.

Из уравнения 800 = (BX * h) / 2 получаем BX = (h * 2) / 800.

Используя уравнения AX = 75 и BX = 75, можем получить следующее уравнение: 3200/S = 75 + (h * 2) / 800.

Теперь знаем, что AX = 75 и AZ = 45. Используя теорему Пифагора, можем записать следующее уравнение: AX^2 = AZ^2 + ZX^2 => 75^2 = 45^2 + ZX^2 => 5625 = 2025 + ZX^2 => ZX^2 = 3600 => ZX = 60.

Имея все эти уравнения, можем записать S = площадь треугольника ABC как S = (AX + ZX) * (BX + h) / 2.

Подставим значения AX = 75, BX = 75 и ZX = 60: S = (75 + 60) * (75 + h) / 2.

Оставшееся уравнение: S = (3200/S) * (h * 2 + 150)/2.

Умножим оба уравнения на 2S: 2S^2 = (135 + h)(2S + 4800).

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем: 2S^2 = 2Sh + 135 * 2S + 4800 * 2S + 135*4800.

2S^2 – 2Sh – 135 * 2S – 4800 * 2S – 135*4800 = 0.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и поделим обе стороны на 2: S^2 – Sh – 135S – 4800S – 135*4800/2 = 0.

S^2 – 9735S – 129600 = 0.

Теперь можем решить это квадратное уравнение для S.

Решая его, получаем два значения S: S1 ≈ 9825.2 и S2 ≈ -102.2.

Итак, S1 ≈ 9825.2 является площадью треугольника ABC.

Ответ: площадь треугольника ABC равна приблизительно 9825.2.