В равнобедренной трапеции ABCD (AD – большее основание) угол при основании равен 60°. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 10, М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, тогда длина основания ABCD равна 2r/√3, а боковые стороны равны r.

Площадь треугольника ΔMCN равна половине произведения его сторон на синус угла между ними: S(ΔMCN) = (1/2) * MC * CN * sin∠MCN.

Так как треугольник ΔMCN является прямоугольным, sin∠MCN = MC / CN.

Подставляя значения длин сторон, получим: S(ΔMCN) = (1/2) * r * r * (r / r) = (1/2) * r^2.

Также известно, что площадь трапеции MBCN равна 10, поэтому S(trapezoid ABCD) = S(ΔMCN) + S(ΔABC) = (1/2) * r^2 + (1/2) * (2r/√3) * (r/√3).

Раскрывая скобки и сокращая получаем: S(trapezoid ABCD) = r^2 + r^2 / 3 = 4r^2 / 3.

Из условия задачи также следует, что угол при основании трапеции ABCD равен 60°.

Так как угол при основании равнобедренной трапеции равен углу при вершине прямоугольного треугольника, имеем: sinα = r / MC = r / (r/√3) = √3.

Отсюда находим значение r: r = MC / √3 = (2r/√3) / √3 = 2r / 3.

Таким образом, уравнение 4r^2 / 3 = 10 имеет решение r = √30 / 3.

Итак, площадь трапеции ABCD равна S(trapezoid ABCD) = 4(√30 / 3)^2 / 3 = 4/9 * 30 = 40/3.

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 40/3.