В равнобедренной трапеции ABCD (AD – большее основание) угол при основании равен 60°. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 10, М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Пусть радиус окружности, равномерно вписанной в трапецию ABCD, равен r. Также пусть точки М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции ABCD. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O.

Заметим, что поскольку радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности, значит ОМ и ОN также равны r. Также, поскольку радиус окружности перпендикулярен касательной, то угол МОN равен 90 градусам.

Так как трапеция ABCD – равнобедренная, значит ОА равно ОС, а также стороны МС и NB равны ребрам трапеции, поскольку они параллельны и имеют точки касания с одной окружностью.

Построим высоту трапеции MBCN из точки О. Пусть высота равна h.

Найдем площадь треугольника МОС (половину площади трапеции MBCN). По теореме Пифагора в треугольнике МОС:

h² = r² – (OM)².

Но ОМ = ОN = r, поэтому h² = r² – r² = 0 и, следовательно, площадь треугольника МОС равна нулю.

Так как площадь треугольника МОС равна половине площади трапеции MBCN, а треугольник трапеции MBCN составляет все площади трапеции, то площадь трапеции MBCN также равна нулю.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна площади трапеции MBCN, то есть 10.