В равнобедренной трапеции ABCD (AD – большее основание) угол при основании равен 60°. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 15, М и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Пусть точка M – точка касания окружности с меньшим основанием трапеции ABCD. Поскольку M является точкой касания, предположим, что M делит сторону BC на отрезки BM и MC, а точка N делит сторону CD на отрезки DN и NC.

Обозначим стороны трапеции ABCD буквами: AD – a, AB – b, BC – c и CD – d.

Поскольку трапеция ABCD является равнобедренной, имеем AB = CD = d.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABM с гипотенузой BM получаем:
BM² = AM² + AB² = AM² + d².

Аналогично, в прямоугольном треугольнике CDN с гипотенузой DN получаем:
DN² = CN² + CD² = CN² + d².

Заметим, что AM = CN = r, где r – радиус окружности.

Теперь воспользуемся формулой площади трапеции ABCD и площадью трапеции MBCN:
S(ABCD) = (AB + CD) * h / 2 = (b + d) * h / 2,
S(MBCN) = (BM + CN) * h / 2 = (AM + DN) * h / 2.

По условию, S(MBCN) = 15, поэтому (AM + DN) * h = 30.

Также, заметим, что (AM + DN) = 2r + 2r = 4r.

Подставим это значение в уравнение и получим:
4rh = 30,
h = 30 / 4r.

Подставим значение h в формулу площади трапеции ABCD:
S(ABCD) = (b + d) * (30 / 4r) / 2 = 15 * (b + d) / 2r.

Также, с помощью теоремы Пифагора имеем BM² = AM² + AB² = r² + d².
Аналогично, имеем DN² = r² + d².

Таким образом, BM = DN = √(r² + d²).

Подставим это значение в формулу для площади трапеции ABCD и получим:
S(ABCD) = 15 * (b + d) / 2r = 15 * (b + 2√(r² + d²)) / 2r = (15 / 2r) * b + 15√(r² + d²) / r.

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна (15 / 2r) * b + 15√(r² + d²) / r.