В тетраэдре DABC все ребра равны 12. Точка M – середина AD, К – середина DC, N – середина DB. Докажите, что сечение MKN параллельно грани ABC. Найдите периметр этого сечения.

Пусть точка O – середина BC. Требуется доказать, что сечение MKN параллельно грани ABC.

По условию, все ребра тетраэдра DABC равны 12. Мы можем представить себе тетраэдр таким образом, что вершины A, B, C и O лежат на окружности радиуса 6 с центром в точке O.

Из симметрии окружности следует, что треугольники NBO, CKA и ADM равны между собой. Поэтому отрезки NO, CO и MO равны по длине.

Также, поскольку M, K и N являются серединами своих соответствующих отрезков, то MO || BC, NO || AB и KO || AC.

Но также мы знаем, что NO || AB и CO || AB из равенства NO = CO. Следовательно, MKN || ABC.

Теперь рассмотрим периметр сечения MKN. Поскольку M, K и N являются серединами соответствующих отрезков AD, DC и DB, то эти отрезки разбивают медиану AO и соответствующие им отрезки на 6 равных частей. Значит, MKN разбивает грань ABC на 6 равных треугольников.

Таким образом, периметр сечения MKN равен сумме периметров этих 6 треугольников. По условию, стороны треугольников равны 12, поэтому периметр каждого треугольника равен 12+12+12=36.

Таким образом, периметр сечения MKN равен 6 * 36 = 216.

Итак, мы доказали, что сечение MKN параллельно грани ABC, и нашли его периметр, равный 216.