На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и DEF. Будем обозначать стороны треугольников с помощью маленьких букв, например, сторону AB обозначим через a, сторону BC – через b, и так далее.
Так как треугольники ABC и DEF подобны, то отношение длин соответственных сторон равно:
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (где k – коэффициент подобия)
Обозначим высоты, опущенные на стороны:
h_a – высота, опущенная на сторону AB,
h_b – высота, опущенная на сторону BC,
h_c – высота, опущенная на сторону AC,
h_d – высота, опущенная на сторону DE,
h_e – высота, опущенная на сторону EF,
h_f – высота, опущенная на сторону DF.
Так как треугольники подобны, то соответствующие высоты также имеют одно и то же отношение:
h_a/h_d = h_b/h_e = h_c/h_f = k.
Теперь мы можем показать, что отношение сходственных сторон треугольников равно отношению опущенных на эти стороны высот.
Возьмем, например, отношение сторон AB и DE: AB/DE = k.
Рассмотрим отношение высот, опущенных на эти стороны: h_a/h_d = k.
Умножим обе части последнего равенства на сторону DE, получим:
h_a = k * h_d.
Теперь посчитаем отношение высоты h_a к стороне AB: h_a/a = (k * h_d) / a.
Но мы знаем, что h_a / a = h_b / b, так как это отношение одинаково для всех сторон треугольников.
Поэтому у нас получается следующее:
h_b / b = (k * h_d) / a.
Мы также можем написать отношение высоты h_d к стороне DE: h_d / DE = h_e / EF.
Умножим обе части на сторону EF: EF * h_d / DE = h_e.
Снова воспользуемся равенствами отношений для сторон треугольников: EF * b = a * DE.
Подставим это в предыдущее равенство и получим:
(h_b / b) * (a * DE / EF) = h_e.
Заметим, что выражение a * DE / EF равно 1/k, так как отношение сторон DE и EF также равно k.
Поэтому мы получаем:
(h_b / b) * (1/k) = h_e.
Из этого равенства следует, что отношение h_b / b равно отношению h_e к 1/k.
То есть:
h_b / b = h_e / (1/k).
Упростим это выражение:
h_b / b = k * h_e.
Таким же образом можно показать, что:
h_c / c = k * h_f.
Таким образом, мы получили, что отношения сходственных сторон треугольников ABC и DEF равно отношению опущенных на эти стороны высот:
AB/DE = h_a/h_d = h_b/h_e = h_c/h_f.
Это и требовалось доказать.
