На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за вершину A выбрана точка K, а на боковой стороне AB — точка L так, что KL = LC. Оказалось, что KA = LB. Найдите угол ABC.

Пусть угол ABC равен x градусам. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC также равен x градусам.
Поскольку KL = LC и KA = LB, треугольники KLC и KBA являются равнобедренными, и у них углы KLC и KBA равны.
Из равнобедренности треугольников KLC и KBA следует, что углы LCK и LAB равны.
Таким образом, углы BAC и LCK равны.
Также из равнобедренности треугольников KLC и KBA следует, что углы KCL и KAB равны.
Из этого следует, что треугольники LCK и KAB подобны.
Следовательно, отношение длин сторон KL и KA соответствует отношению длин сторон CK и AB.
То есть KL/KA = CK/AB.
Но мы знаем, что KL = LC и KA = LB, поэтому KL/KA = LC/LB = 1.
Остается только выразить отношение CK и AB через угол ABC.
Используем свойство синуса для треугольника ABC: AB/AC = sin(ABC).
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = AB, поэтому AB/AC = 1.
Таким образом, sin(ABC) = 1, откуда ABC = 90 градусов.
Таким образом, угол ABC равен 90 градусов.