В неравнобедренном треугольнике KLM биссектриса угла M пересекает сторону KL в точке P. Длины отрезков MP и PL равны радиусу окружности, описанной около треугольника KLM. Найдите градусную меру большего угла треугольника KLM.

Пусть AM — биссектриса угла KLM, где M — точка пересечения биссектрисы и стороны KL, а A — точка пересечения биссектрисы и стороны LM. Поскольку радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен длине отрезка MP, а треугольник KLM — неравнобедренный, то KM ≠ LM и AM ≠ AL.

Так как AM — биссектриса угла KLM, то из определения биссектрисы следует, что MK/ML = AK/AL.

Из условия задачи известно, что MP = PL = r, где r — радиус окружности, описанной около треугольника KLM.

Окружности равного радиуса, описанные около треугольников KMP и MLP, имеют общую хорду MP. Из данного свойства следует, что углы KPM и LPM равны и равны половине угла KLM. Обозначим половину угла KLM через α.

Так как MP = PL, то противолежащие им углы MPK и LPM равны. Поэтому MPK = LPM = α.

Из равенства углов MKP и PLM следует, что углы KMP и MLP также равны и равны половине угла KLM, то есть это тоже равно α.

Таким образом, угол KPM равен углу KMP равен α, а угол LPM равен углу MLP равен α.

Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы MPK и MPL равны и равны (180° – α).

Таким образом, сумма углов треугольника KMP равна (MPK + MKP + KMP) = (α + (180° – α) + α) = (360° – α).

Из суммы углов треугольника KLP следует, что (α + (360° – α) + α) = 180°. Решая это уравнение, получаем:

3α = 180° – α,

4α = 180°,

α = 45°.

Таким образом, каждый угол треугольника KLM равен (2α) = 90°.

Ответ: Углы треугольника KLM равны 90°.