Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АС =8 Найдите АК.

Пусть O – центр окружности.

Заметим, что при касании окружности и прямой, проведенной через точку, лежащую вне окружности, радиус окружности (окружностный радиус) перпендикулярен прямой в точке касания.

Таким образом, OK⊥AK и OA⊥AB.

На основании теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике OAK:
OA² + AK² = OK².

Аналогично, в прямоугольном треугольнике OAB:
OA² + AB² = OB².

Подставим значение AB из условия (AB = 2) в последнее уравнение:
OA² + 2² = OB².

Аналогично, в прямоугольном треугольнике OAC:
OA² + AC² = OC².

Подставим значение AC из условия (AC = 8) в последнее уравнение:
OA² + 8² = OC².

Таким образом, получаем систему уравнений:
OA² + 2² = OB²,
OA² + 8² = OC².

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от OA²:
8² – 2² = OC² – OB²,
64 – 4 = OC² – OB²,
60 = OC² – OB².

Также известно, что точка К – точка касания окружности и прямой, поэтому OK = OB, и можно заменить OB на OK:
60 = OC² – OK².

Теперь вспомним, что OK⊥AK. Они являются сторонами прямоугольного треугольника OAK. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику:
OA² + AK² = OK²,
OA² = OK² – AK².

Подставим выражение для OA² в предыдущее уравнение:
60 = OC² – (OA² + AK²),
60 = OC² – (OK² – AK² + AK²),
60 = OC² – OK².

Теперь мы имеем две системы уравнений:
1) 60 = OC² – OK²,
2) OA² = OK² – AK².

Решим систему уравнений численно или графически, чтобы найти значения OA, OK и OC. Затем найдём значение AK, используя второе уравнение.