Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках A1 и A2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках B1 и B2. Найдите A2B2, если A1B1 = 18см, AA1 = 24см, AA2 = 36см.

Рассмотрим треугольник АBA1. Мы знаем две его стороны: АA1 = 24 см и АB = АA1 + AB1 = 24 см + 18 см = 42 см. Известными являются также углы при вершине А: угол А и угол А1 (так как АА1 параллельна сторонам АС и ВС, они соответственные углы).

Ответьте на следующие вопросы:
1. Ответьте на следующие вопросы:
a) Что можно сказать о треугольнике АВС?
б) Что можно сказать о треугольниках АВА1 и АВB1?
в) Какие углы или стороны этих треугольников равны между собой?

2. Придумайте, как использовать эти сведения, чтобы найти A2B2.

(ответы)
1.a) Треугольник АВС – подобный треугольнику АВА1.
б) Треугольники АВА1 и АВB1 – также подобные треугольники.
в) В треугольниках АВА1 и АВB1 сторона AB и сторона A1B1 равны. Кроме того, угол АВА1 и угол АВB1 равны.

2. Мы знаем, что в подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны. Таким образом, мы можем построить пропорцию:
AB/A2B2 = A1B1/AB1.
Подставив известные значения, получим:
42/A2B2 = 18/AB1.

3. Теперь найдем AB1. Мы можем использовать подобие треугольников АВА1 и АВB1:
AB/AB1 = АВА1/АВB1.
Подставив известные значения, получим:
42/AB1 = 24/18.

4. Решим пропорцию для AB1:
42/AB1 = 24/18.
Умножаем обе части на AB1:
42 * 18 = 24 * AB1.
AB1 = (42 * 18) / 24.
AB1 = 31.5 см.

5. Подставляем найденное значение AB1 в пропорцию для A2B2:
42/A2B2 = 18/31.5.
Умножаем обе части на A2B2:
42 * 31.5 = 18 * A2B2.
1323 = 18 * A2B2.
Делим обе части на 18:
A2B2 = 1323 / 18.
A2B2 = 73.5 см.

Ответ: A2B2 = 73.5 см.