В прямоугольнике ABCD, точка – N середина стороны AD, АВ = 9, ВС = 16. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, отрезки АС и ВN пересекаются в точке Е, отрезки BD и CN пересекаются в точке Р. а) Докажите, что прямые EF и ВС параллельны. б) Найдите плошадь треугольника EFO

Чтобы доказать, что прямые EF и ВС параллельны, нам нужно показать, что соответствующие углы EFO и ВСN равны.

a) Поскольку N – середина стороны AD, то AN = ND. Рассмотрим треугольники ABE и CND. У них равны горизонтальные стороны AB = CD (перпендикуляры к BD), AN = ND и углы ABN и CDN вертикальные, поэтому они равны. Таким образом, треугольники ABE и CND подобны по теореме о совпадении двух углов и одной стороны. Из этой подобности следует, что углы BAE и CND также равны. Так как угол BAD равен 90 градусам, то угол BAE также равен 90 градусам. Следовательно, угол CND также равен 90 градусам, что означает, что прямые EF и ВС параллельны.

б) Чтобы найти площадь треугольника EFO, можно воспользоваться формулой площади треугольника через длины сторон и радиус вписанной окружности. Так как точка N – середина стороны AD, а AD является диаметром вписанной окружности треугольника EFO, то радиус этой окружности равен половине длины стороны AD.

Пусть EF = a, FO = b и EO = c. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике EFO имеем a^2 + b^2 = c^2. Поскольку EO является диаметром окружности, равномерно описывающей треугольник EFO, то EO = 2r, где r – радиус вписанной окружности треугольника.

Таким образом, имеем a^2 + b^2 = (2r)^2 = 4r^2.

Площадь треугольника EFO можно выразить через длины сторон с помощью формулы Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p – полупериметр треугольника EFO.

Поскольку треугольник EFO – прямоугольный, то полупериметр равен p = (a + b + c)/2 = (a + b + 2r)/2 = (a + b + √(a^2 + b^2))/2.

Тогда площадь треугольника EFO равна S = √((a + b + √(a^2 + b^2))(a + b – √(a^2 + b^2))/2).

Таким образом, площадь треугольника EFO можно вычислить, используя значения длин сторон a и b.