В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми CM и AN, где M и N – соответственно середины ребер A1C1 и B1A1

Шаг 1: Нам нужно найти косинус угла между прямыми CM и AN в правильной треугольной призме ABCA1B1C1.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AMN, где M и N – середины ребер A1C1 и B1A1 соответственно.

Шаг 3: Поскольку ABCA1B1C1 – правильная треугольная призма, угол MAB равен 30 градусам, так как это одна треть угла ABC (угол ABC равен 90 градусам, и в правильном треугольнике он делится на три равных угла).

Шаг 4: Угол MAN является вертикальным углом к углу MAB и поэтому также равен 30 градусам.

Шаг 5: Точка A лежит на прямой AN, и поэтому угол CAN также равен 30 градусам (угол MAN и угол CAN являются соответственными углами, так как AM и CN – прямые пересекаются).

Шаг 6: CM – диагональ треугольника AMC, а MA и MC – радиусы треугольника AMC (поскольку радиусы треугольника ортогональны его диагоналям).

Шаг 7: В правильном треугольнике AMC угол ACM равен 30 градусам (угол MAB делится пополам в точке M). Таким образом, AM = MC = 1/2.

Шаг 8: Так как угол MAN равен 30 градусам, косинус этого угла равен cos(30 градусов) = √3/2.

Шаг 9: Ответ: Косинус угла между прямыми CM и AN равен √3/2.