(доделать) В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 4. Точка Е – середина ребра ВС. Найдите косинус угла между прямыми АВ и DE. A 2. В основании треугольной пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник АВС: АС = ВС = 15, АВ = 9. Точки E, F, М и К – середины рёбер AB, BC, AD и DB соответственно. Найдите косинус угла между прямыми МК и

Шаги решения первой задачи:

1. Найдем векторы AB и DE. Вектор AB можно найти разностью координат точек A и B, то есть AB = BA = (0-4)i + (0-0)j + (0-0)k = -4i.
Вектор DE можно найти разностью координат точек D и E, то есть DE = ED = (0-2)i + (0-0)j + (0-0)k = -2i.

2. Найдем скалярное произведение векторов AB и DE. Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле a·b = |a||b|cosθ, где |a| и |b| – длины векторов a и b, а θ – угол между векторами. В данном случае, |AB| = 4 и |DE| = 2, поэтому мы можем вычислить скалярное произведение по формуле: -4·(-2) = 8.

3. Найдем длины векторов AB и DE. Длина вектора a вычисляется по формуле |a| = √(ax^2 + ay^2 + az^2), где ax, ay, az – координаты вектора a. В данном случае, |AB| = √((-4)^2 + 0^2 + 0^2) = √16 = 4 и |DE| = √((-2)^2 + 0^2 + 0^2) = √4 = 2.

4. Найдем косинус угла между векторами AB и DE по формуле cosθ = (a·b) / (|a||b|), где a·b – скалярное произведение векторов AB и DE, а |a| и |b| – их длины. Подставляем значения: cosθ = 8 / (4·2) = 8 / 8 = 1.

Ответ: косинус угла между прямыми АВ и DE равен 1.

Шаги решения второй задачи:

1. Найдем векторы МК и АС. Вектор МК можно найти разностью координат точек М и К, то есть МК = КМ = ((9-0)/2)i + ((0-0)/2)j + ((0-9)/2)k = 4.5i -4.5k.
Вектор АС можно найти разностью координат точек A и С, то есть АС = СА = (0-15)i + (0-0)j + (0-0)k = -15i.

2. Найдем скалярное произведение векторов МК и АС. Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле a·b = |a||b|cosθ, где |a| и |b| – длины векторов a и b, а θ – угол между векторами. В данном случае, |МК| = 5.303 и |АС| = 15, поэтому мы можем вычислить скалярное произведение по формуле: (4.5·-15) = -67.5.

3. Найдем длины векторов МК и АС. Длина вектора a вычисляется по формуле |a| = √(ax^2 + ay^2 + az^2), где ax, ay, az – координаты вектора a. В данном случае, |МК| = √((4.5)^2 + 0^2 + (-4.5)^2) = √(20.25 + 20.25) = √40.5 ≈ 6.364 и |АС| = √((-15)^2 + 0^2 + 0^2) = √225 = 15.

4. Найдем косинус угла между векторами МК и АС по формуле cosθ = (a·b) / (|a||b|), где a·b – скалярное произведение векторов МК и АС, а |a| и |b| – их длины. Подставляем значения: cosθ = (-67.5) / (6.364·15) ≈ -0.890.

Ответ: косинус угла между прямыми МК и АС примерно равен -0.890.