На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для исследования сходимости ряда используем признак Даламбера.
Признак Даламбера утверждает, что если отношение абсолютных значений соседних членов ряда стремится к конечному числу L при n, то если L<1, ряд сходится, а если L>1, ряд расходится. Если L=1, признак Даламбера не дает определенного результата, и в таком случае нужно использовать другие признаки сходимости.
Рассмотрим ряд 2^n/n^2 = 2 + 2^2/2^2 + 2^3/3^2 + 2^4/4^2 + …
Вычислим отношение соседних членов:
(2^(n+1)/(n+1)^2) / (2^n/n^2) = (2 * 2^n/n^2) / ((n+1)^2 / n^2) = 2 * (n^2 / (n+1)^2) = 2 * (n/(n+1))^2
При n → ∞ из этого выражения получаем:
lim(n → ∞) 2 * (n/(n+1))^2 = 2 * 1^2 = 2
Таким образом, отношение абсолютных значений соседних членов ряда стремится к числу 2 при n → ∞.
Так как 2 > 1, согласно признаку Даламбера ряд расходится.
Итак, исходный ряд расходится.
