На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для того чтобы найти интервал сходимости ряда, мы можем использовать признак Даламбера или признак Коши. Давайте воспользуемся признаком Даламбера.
Признак Даламбера утверждает, что если существует такое число R, что для всех n > N, где N — некоторое натуральное число, выполнено:
lim (n→∞) |(a_{n+1} / a_n)| = L < 1,
где a_n — член ряда, то ряд сходится абсолютно для |x| < R и расходится для |x| > R.
Для нашего ряда a_n = ((2n+1)x^n) / n^2. Рассмотрим отношение соседних членов ряда:
|(a_{n+1} / a_n)| = |(((2(n+1)+1)x^{n+1}) / (n+1)^2) / ((2n+1)x^n) / n^2)| = |((2n+3)x) / ((n+1)^2) * (n^2 / (2n+1))|.
Упростим это выражение:
|(a_{n+1} / a_n)| = |((2n+3)x) / ((n+1)^2) * (n^2 / (2n+1))| = |((2n+3)x) / ((n+1)(2n+1))|.
Заметим, что мы можем применить предельное значение к данному выражению только тогда, когда n < -1/2.
Вычислим предел этого выражения при n → ∞:
lim (n→∞) |((2n+3)x) / ((n+1)(2n+1))| = |2x / 2| = |x|.
Теперь, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы данный предел был меньше 1. То есть |x| < 1. Значит, интервал сходимости ряда равен (-1, 1).
Вывод: Ряд сходится абсолютно для всех x в интервале (-1, 1).
