На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для нахождения области сходимости рассмотрим функциональный ряд ∑_1^∞▒x/(ne^nx).
Используем признак Даламбера для функциональных рядов:
D = lim_(n→∞) |a_(n+1)/a_n|,
где a_n = x/(ne^nx).
Вычислим отношение:
|a_(n+1)/a_n| = |x/((n+1)e^x(n+1))| * |ne^xn| / |x/(ne^nx)| = |x|/|x| = 1.
Таким образом, D = 1.
Если D < 1, то ряд абсолютно сходится.
Если D > 1, то ряд расходится.
Если D = 1, то признак Даламбера не даёт определённого ответа.
В данном случае D = 1, и по признаку Даламбера нельзя однозначно сказать о сходимости или расходимости ряда.
Для определения области сходимости проанализируем дополнительно значение x.
Если x = 0, ряд становится ∑_1^∞▒0, который сходится.
Если x ≠ 0, то x/(ne^nx) можно преобразовать к виду 1/(ne^nx/x):
∑_1^∞▒x/(ne^nx) = ∑_1^∞▒1/(ne^(nx – x)).
Таким образом, ряд можно переписать следующим образом: ∑_1^∞▒1/(ne^y), где y = nx – x.
Так как естественный логарифм является строго возрастающей функцией, то будем рассматривать y > 0, что эквивалентно x > 1/n.
Значит, область сходимости ряда ∑_1^∞▒x/(ne^nx) – это множество всех x, для которых x > 1/n для всех натуральных n.
Таким образом, область сходимости ряда ∑_1^∞▒x/(ne^nx) – это интервал (0, +∞).
