На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Область сходимости ряда определяется значением x, при котором ряд сходится. Для этого нам нужно найти такие значения x, при которых ряд сходится, и исключить значения x, при которых ряд расходится.
Шаги решения:
1. Применим признак Даламбера для определения сходимости ряда. Пусть a_n = ((x+1)^n)/(((2^n)*(n+1))). Выполним отношение a_{n+1}/a_n:
a_{n+1}/a_n = ((x+1)^(n+1))/(((2^(n+1))*(n+2))) * (((2^n)*(n+1))/((x+1)^n))
Сокращаем подобные члены и получаем:
a_{n+1}/a_n = (x+1)/2 * (n+1)/(n+2)
2. Исследуем полученное отношение на сходимость:
– Если (x+1)/2 < 1, то a_{n+1}/a_n < 1 при любом n, и ряд сходится. - Если (x+1)/2 > 1, то a_{n+1}/a_n > 1 при достаточно большом n, и ряд расходится.
– Если (x+1)/2 = 1, то отношение не даёт определённого результата и нужно провести дополнительное исследование.
3. Проверим случай (x+1)/2 = 1:
(x+1)/2 = 1
x+1 = 2
x = 1
Если x = 1, то переделаем исходный ряд:
a_n = ((1+1)^n)/(((2^n)*(n+1))) = 1/(n+1)
Это гармонический ряд, который известно, что расходится. Значит, x = 1 не входит в область сходимости ряда.
4. Итак, исключая x = 1, область сходимости ряда определяется неравенством (x+1)/2 < 1: (x+1)/2 < 1 x+1 < 2 x < 1 Следовательно, область сходимости ряда определена для всех x < 1.
