На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Даны три условия, описывающие плоскую фигуру:
1) Уравнение линии: y^2 = 2x
2) Уравнение вертикальной линии: x = 2
3) Уравнение круга: x^2 + y^2 = 2x
Нам нужно найти массу этой фигуры с использованием следующего уравнения для плотности: p = y.
Для начала найдем точки пересечения этих кривых.
1) Подставим x = 2 в уравнение вертикальной линии, чтобы найти y-координату точки пересечения:
y^2 = 2 * 2
y^2 = 4
y = ±2
2) Подставим x = 2 в уравнение круга, чтобы найти y-координату точки пересечения:
2^2 + y^2 = 2 * 2
4 + y^2 = 4
y^2 = 0
y = 0
Таким образом, точки пересечения линейного и вертикального уравнений: (2, -2) и (2, 2), а точка пересечения круга и вертикальной линии: (2, 0).
Теперь можно разделить фигуру на две части: прямоугольник сбоку и полукруг сверху.
1) Полукруг можно представить как функцию y = √(2x). Находим площадь полукруга с помощью интеграла:
S1 = ∫[0, 2] y √(2x) dx = ∫[0, 2] √(2x^3) dx
Здесь S1 – площадь полукруга.
2) Прямоугольник представляется отрезком между двумя точками (2, -2) и (2, 2). Найдем его высоту:
h = 2 – (-2) = 4
3) Зная площадь полукруга и высоту прямоугольника, можно найти площадь прямоугольника:
S2 = 4 * 2 = 8
Здесь S2 – площадь прямоугольника.
Теперь найдем массу каждой части фигуры. Зная, что плотность равна y, можно записать массу каждой части в виде интеграла:
M1 = ∫[0, 2] y √(2x) dx
M2 = ∫[-2, 2] y dx
Окончательно, масса всей фигуры будет равна сумме масс каждой части:
M = M1 + M2
