Имеется три одинаковые урны с шарами. В первой урне 4 белых и 2 черных, во второй – 5 белых и 3 черных, в третьей – 2 белых и 7 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что это черный шар.

Пусть событие A – выбор урны, событие B – извлечение черного шара. Мы хотим найти вероятность P(B), то есть вероятность выбора черного шара.

1. Вычислим вероятность выбора каждой урны. Всего урн 3, поэтому каждая урна имеет вероятность 1/3.

2. Вычислим вероятность выбора черного шара из каждой урны:
– В первой урне есть 2 черных шара из 6 возможных, поэтому вероятность извлечения черного шара из первой урны равна 2/6 = 1/3.
– Во второй урне есть 3 черных шара из 8 возможных, поэтому вероятность извлечения черного шара из второй урны равна 3/8.
– В третьей урне есть 7 черных шаров из 9 возможных, поэтому вероятность извлечения черного шара из третьей урны равна 7/9.

3. Теперь найдем вероятность выбора каждой урны:
– Вероятность выбора первой урны равна 1/3.
– Вероятность выбора второй урны равна 1/3.
– Вероятность выбора третьей урны равна 1/3.

4. Найти полную вероятность P(B) можно, используя формулу полной вероятности:
P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3),
где P(B|A1), P(B|A2) и P(B|A3) – вероятности выбора черного шара из первой, второй и третьей урны соответственно, а P(A1), P(A2) и P(A3) – вероятности выбора каждой урны соответственно.

5. Подставим значения и вычислим:
P(B) = (1/3) * (1/3) + (3/8) * (1/3) + (7/9) * (1/3)
= 1/9 + 1/8 + 7/27
= (8/72) + (9/72) + (56/72)
= 73/72

Ответ: Вероятность извлечения черного шара равна 73/72.