На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
данный ряд сходится.
Для исследования ряда с помощью признака Даламбера мы рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда:
an = (3n + 1) / (3^n – 2)
an+1 = (3(n+1) + 1) / (3^(n+1) – 2)
Теперь найдем предел отношения an+1 / an при n стремящемся к бесконечности:
lim[n->∞] (an+1 / an) = lim[n->∞] ((3(n+1) + 1) / (3^(n+1) – 2)) / ((3n + 1) / (3^n – 2))
= lim[n->∞] ((3(n+1) + 1) / (3(n+1) – 2)) * ((3^n – 2) / (3n + 1))
= lim[n->∞] (1 + 1/(3(n+1)) / (1 – 2/(3(n+1))) * ((3^n – 2) / (3n + 1))
= 1 * 1 * 1 = 1
Поскольку предел этого отношения равен 1, по признаку Даламбера нельзя сделать однозначных выводов о сходимости ряда. Требуется использование других признаков.
Мы можем проверить этот ряд с помощью признака сравнения или признака Дирихле.
Признак сравнения: Если существует сходящийся ряд bₙ и ограниченная и положительная последовательность сₙ такая, что 0 ≤ aₙ ≤ bₙ для всех n, то, если сходится бₙ, сходится также и aₙ. И наоборот, если расходится бₙ, расходится также и aₙ.
Признак Дирихле утверждает: Если существует такое число M, для которого все члены bₙ образуют ограниченную последовательность и члены сₙ монотонны и стремятся к нулю, то ∑aₙbₙ сходится.
Мы можем использовать признак Дирихле, так как члены 3ₙ+1 являются арифметической прогрессией с общим разностью 3 и члены 1/(3ⁿ – 2) являются монотонно убывающей последовательностью, стремящейся к нулю. Кроме того, последовательность 1/(3ⁿ – 2) ограничена сверху значением 1.
Следовательно, мы можем утверждать, что данный ряд сходится на основе признака Дирихле.
