Вычислить поток векторного поля a(M)= xi+(y-2z)j+(2x-y+2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p): x+2y+2z=2 и координатными плоскостями, двумя способами: 3.1 с использованием определения; 3.2 с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

3.1 С использованием определения потока векторного поля

Поток векторного поля a(M) через внешнюю поверхность пирамиды можно вычислить, разбив пирамиду на маленькие площадки.

Шаги решения:
1. Найдем вектор нормали поверхности пирамиды. Для этого возьмем градиент от уравнения плоскости (p): grad(p) = i + 2j + 2k.
2. Разобьем пирамиду на маленькие треугольные поверхности и найдем векторный поток a(M) через каждую поверхность, перемножив вектор нормали поверхности и векторное поле a(M). Получим векторные потоки a1, a2, a3.
3. Проинтегрируем векторные потоки a1, a2, a3 по всем поверхностям пирамиды. Получим сумму векторных потоков S.
4. Поток векторного поля a(M) через внешнюю поверхность пирамиды равен S.

3.2 С помощью формулы Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком векторного поля и его дивергенцией.

Шаги решения:
1. Найдем дивергенцию векторного поля a(M). Для этого вычислим частные производные каждой компоненты вектора a(M) по соответствующей переменной: div(a) = ∂a/∂x + ∂a/∂y + ∂a/∂z.
2. Найдем объем ограниченный внешней поверхностью пирамиды, используя уравнение плоскости (p): V = ∬(p) dS.
3. Поток векторного поля a(M) через внешнюю поверхность пирамиды равен ∭(p) div(a) dV, где div(a) – дивергенция векторного поля a(M), а ∭(p) – интеграл по объему ограниченному внешней поверхностью пирамиды.

Итак, задача решена двумя способами: с использованием определения потока векторного поля и с помощью формулы Остроградского-Гаусса. Результаты, полученные обоими способами, должны совпадать.