По круговой трассе с постоянными скоростями ездили три гоночные машины. Первая и вторая ехали по часовой стрелке, третья — против. Стартовали все три машины одновременно из одной точки, и финишировали там же, тоже одновременно (проехав, возможно, разное число кругов). Помимо этого, первая и третья машины встречались 16 раз, вторая и третья — 24 раза. Сколько раз вторая машина обгоняла первую? (Нахождение в одной точке в начальный и конечный моменты мы обгонами не считаем).

Пусть первая машина проехала n кругов, вторая машина проехала m кругов, третья машина проехала t кругов.

Обгоном будем считать ситуацию, когда одна машина двигается быстрее и обгоняет другую машину на трассе.

Заметим, что каждый обгон должен быть запланирован заранее, и количество планирований обгонов должно быть одинаковым для всех двух пар машин.

Также обгон первой и третьей машины происходит тогда и только тогда, когда первая машина проехала n кругов, а третья машина проехала t кругов, и разница между их пройденными кругами не делится нацело на количество обгонов.

Аналогично, обгон второй и третьей машины происходит тогда и только тогда, когда вторая машина проехала m кругов, а третья машина проехала t кругов, и разница между их пройденными кругами не делится нацело на количество обгонов.

Таким образом, чтобы найти количество раз, когда вторая машина обгоняла первую, мы должны найти такое число m, которое удовлетворяет двум условиям:

1) m делится нацело на количество обгонов первой и третьей машины (n – t)
2) m не делится нацело на количество обгонов второй и третьей машины (m – t)

Мы знаем, что первая и третья машины встречались 16 раз и что вторая и третья машины встречались 24 раза. Обозначим количество обгонов первой и третьей машины как k1, а количество обгонов второй и третьей машины как k2. Тогда получаем следующую систему уравнений:

k1(n – t) = 16
k2(m – t) = 24

Решив данную систему уравнений, мы найдем значения k1, k2, n, m и t, и сможем определить количество раз, когда вторая машина обгоняла первую.

Количество раз, когда вторая машина обгоняла первую, равно k2.