В институте работает 67 человек. Из них английский язык знают – 47, немецкий – 35, английский и немецкий языки – 23. Французский язык знают 20 человек, английский и французский – 12, французский и немецкий – 11, а все три языка знают – 5 человек. Сколько человек не знают иностранных языков?

Обозначим:
А – число людей, которые знают английский язык (47 человек),
Н – число людей, которые знают немецкий язык (35 человек),
Ф – число людей, которые знают французский язык (20 человек),
А∩Н – число людей, которые знают и английский, и немецкий языки (23 человека),
А∩Ф – число людей, которые знают и английский, и французский языки (12 человек),
Н∩Ф – число людей, которые знают и немецкий, и французский языки (11 человек),
А∩Н∩Ф – число людей, которые знают и английский, и немецкий, и французский языки (5 человек).

Из условия задачи нам известно:

А = 47,
Н = 35,
Ф = 20,
А∩Н = 23,
А∩Ф = 12,
Н∩Ф = 11,
А∩Н∩Ф = 5.

Теперь найдем число людей, которые знают только один язык. Для этого нужно вычесть из общего числа знающих каждый язык (А, Н, Ф) количество людей, знающих два языка (А∩Н, А∩Ф, Н∩Ф) и учесть тех, кто знает все три языка (А∩Н∩Ф):

только А = А – (А∩Н + А∩Ф – А∩Н∩Ф) = 47 – (23 + 12 – 5) = 17,
только Н = Н – (А∩Н + Н∩Ф – А∩Н∩Ф) = 35 – (23 + 11 – 5) = 6,
только Ф = Ф – (А∩Ф + Н∩Ф – А∩Н∩Ф) = 20 – (12 + 11 – 5) = 2.

Чтобы найти число людей, которые не знают ни одного иностранного языка, нужно вычесть из общего числа людей (67) сумму всех, знающих хотя бы один язык:

не знают иностранные языки = 67 – (только А + только Н + только Ф + А∩Н + А∩Ф + Н∩Ф + А∩Н∩Ф) = 67 – (17 + 6 + 2 + 23 + 12 + 11 + 5) = 67 – 76 = -9.

Видим, что получили отрицательное число, что невозможно. Такое произошло, потому что информация задачи противоречива. Вероятно, произошла ошибка в формулировке или в записи данных.