Независимые дискретные случайные величины Х и Y заданы законами распределения. X |     -4       0          7    P |  0,62    0,35     0,03 Y |       -2        6 P |     0,01    0,99 Найдите дисперсию случайной величины Z = 4X–Y.

Для решения данной задачи нам необходимо найти дисперсию случайной величины Z = 4X – Y.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Z:
E(Z) = E(4X – Y)

Шаг 2: Заменим случайные величины X и Y их математическим ожиданием:
E(Z) = 4E(X) – E(Y)

Шаг 3: Найдем математическое ожидание случайной величины X:
E(X) = (-4)*0,62 + 0*0,35 + 7*0,03 = -2,48 + 0 + 0,21 = -2,27

Шаг 4: Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
E(Y) = (-2)*0,01 + 6*0,99 = -0,02 + 5,94 = 5,92

Шаг 5: Подставим найденные значения в формулу для E(Z):
E(Z) = 4*(-2,27) – 5,92 = -9,08 – 5,92 = -15

Шаг 6: Теперь найдем дисперсию случайной величины Z:
Var(Z) = E((Z – E(Z))^2)

Шаг 7: Разложим квадрат выражения внутри ожидания:
Var(Z) = E((4X – Y – (-15))^2) = E((4X – Y + 15)^2)

Шаг 8: Раскроем квадрат и учитывая линейность математической ожидания, получим:
Var(Z) = E(16X^2 + Y^2 + 225 + 8XY – 30X – 30Y)

Шаг 9: Подставим значения вероятности для X и Y и учитывая линейность математической ожидания, получим:
Var(Z) = 16E(X^2) + E(Y^2) + 225 + 8E(XY) – 30E(X) – 30E(Y)

Шаг 10: Найдем E(X^2), E(Y^2) и E(XY) с помощью формулы для математического ожидания:
E(X^2) = (-4)^2*0,62 + 0^2*0,35 + 7^2*0,03 = 9,68
E(Y^2) = (-2)^2*0,01 + 6^2*0,99 = 35,94
E(XY) = (-4)*(-2)*0,62 + 0*(-2)*0,35 + 7*6*0,03 = 4,88

Шаг 11: Подставим найденные значения в формулу для Var(Z):
Var(Z) = 16*9,68 + 35,94 + 225 + 8*4,88 – 30*(-2,27) – 30*5,92

Шаг 12: Вычислим значение выражения:
Var(Z) = 154,88 + 35,94 + 225 + 39,04 + 68,1 + 177,6 = 701,56

Ответ: Дисперсия случайной величины Z равна 701.56.