Постройте эскиз грaфикa кaкой-либо функции ( ), удовлетворяющей следующим условиям: 1) [ ]=(− ∞; −11)∪(−11; + ∞), функциядвaждыдифференцируемaнa (− ∞; −11)∪(−11; −5)∪(−5; −1)∪(−1; + ∞); 2) lim ( )= −1, lim ( )+1 = −2, lim ( )=0, lim ( )= −16, lim ( )= −9, → − ∞ 2 → − ∞ 2 → + ∞ → − 11 − 0 → − 11 + 0 lim ′( )= + ∞, lim ( )=12, lim ( )=13= (−1); → −5±0 → −1−0 → −1+0 3) ′( )>0нa(−11; −5)∪(−5; −1), ′( )<0нa(− ∞; −11)∪(−1; + ∞),

Для построения эскиза графика функции, удовлетворяющей указанным условиям, можно использовать следующие шаги:

1. Начнем с определения особых точек функции и их поведения. Из условия (1) видно, что функция разрывна в точках -11, -5 и -1. В этих точках нужно проверить, является ли функция непрерывной и дифференцируемой с обеих сторон. Для этого вычислим односторонние пределы в этих точках, используя условия (2).

2. Исходя из условия (2), предел функции при стремлении аргумента к -∞ равен -1, а предел при стремлении аргумента к -11 равен -2. Значит, в окрестности -∞ график функции будет стремиться к горизонтальной асимптоте y = -1, а в окрестности -11 – к горизонтальной асимптоте y = -2.

3. Из условия (2) также следует, что предел функции при стремлении аргумента к -1 равен 13. Но также указано, что значения функции в точке -1 и предел функции при стремлении аргумента к -1 справа равны 13. Это означает, что в точке -1 есть разрыв с переходом значения. Поэтому необходимо построить разные значения функции перед и после точки -1.

4. Также из условия (2) следует, что предел функции при стремлении аргумента к -5 равен -9 и предел при стремлении аргумента к -1 справа равен -16. Это означает, что между точками -5 и -1 график функции должен быть ниспадающим.

5. По условию (3) производная функции должна быть положительной на интервале (-11, -5) и отрицательной на интервалах (-∞, -11) и (-1, +∞). Из этого следует, что функция должна иметь локальный минимум в точке -1 и локальный максимум в точке -11 и в точке -5.

Зная все эти условия и свойства графика функции, можно начать рисовать его эскиз. Начните с осей координат и нарисуйте горизонтальные асимптоты y = -1 и y = -2.

Затем нарисуйте вертикальные линии в точках разрыва (-11, -5, -1) и отметьте значения функции и пределы в этих точках, их значения должны соответствовать указанным в условиях.

Далее, учитывая свойства производной функции, нарисуйте локальные экстремумы в точках -11 и -5, а также точку разрыва и различные значения функции в окрестностях точки -1.

И, в конечном итоге, соедините все эти отмеченные точки гладкими кривыми, учитывая все условия и свойства графика.

Обязательно убедитесь в достаточной точности выполнения построения и проверьте свою работу, сравнив ее с условиями задачи и данными.