На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Заметим, что числа [n/5], [n/6], [n/7], [n+1/5], [n+1/6], [n+1/7] являются целыми числами.
При анализе троек чисел [n/5], [n/6], [n/7] и [n+1/5], [n+1/6], [n+1/7] важными являются только целая часть от деления числа на 5, 6 и 7.
Допустим, [n/5] и [n+1/5] различны. В этом случае целая часть от деления n на 5 меньше целой части от деления n+1 на 5. То есть [n/5] = [n+1/5] – 1.
Тогда можем записать неравенства:
“`
[n/5] ≤ [n+1/5] – 1
[n/6] ≤ [n+1/6]
[n/7] ≤ [n+1/7]
“`
Объединим первые два неравенства:
“`
[n/5] ≤ [n+1/5] – 1 ≤ [n+1/6]
“`
Из третьего неравенства получаем:
“`
[n/7] ≤ [n+1/7] ≤ [n+1/6]
“`
Допустим, [n/6] и [n+1/6] также различны:
“`
[n/6] ≤ [n+1/6] – 1
“`
Получаем, что:
“`
[n/5] ≤ [n/6] – 1 ≤ [n+1/6] – 1 ≤ [n+1/5] – 2 ≤ [n+1/5] – 1
“`
Отсюда следует:
“`
[n/5] ≤ [n/6] – 1 ≤ [n/7]
“`
Из второго неравенства получаем:
“`
[n+1/5] ≤ [n+1/6] – 1 ≤ [n/7]
“`
Таким образом, для того, чтобы тройки чисел [n/5], [n/6], [n/7] и [n+1/5], [n+1/6], [n+1/7] были различными, необходимо выполнение следующих неравенств:
“`
[n/5] ≤ [n/6] – 1 ≤ [n/7]
[n+1/5] ≤ [n+1/6] – 1 ≤ [n/7]
“`
Для решения задачи можно воспользоваться полезным неравенством:
“`
[x/y] ≤ [z/y] ≤ [(x+z)/y]
“`
Применим это неравенство и получим:
“`
[n/5] ≤ [n/6] – 1 ≤ [n/7] ≤ [n/6]
[n+1/5] ≤ [n+1/6] – 1 ≤ [n/7] ≤ [n/6]
“`
Теперь рассмотрим два случая.
Случай 1: [n/6] – 1 = [n/7]
В этом случае из неравенства [n/5] ≤ [n/6] – 1 следует [n/5] ≤ [n/7].
Также, из неравенства [n/7] ≤ [n/6] следует [n/7] ≤ [n/6] – 1.
Отсюда, получаем:
“`
[n/5] ≤ [n/7] ≤ [n/6] – 1
[n/7] ≤ [n/6] – 1 ≤ [n/5]
“`
Случай 2: [n/6] – 1 < [n/7] В этом случае из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 1 следует [n/7] ≤ [n/6] - 2. Также, из неравенства [n/5] ≤ [n/6] - 1 следует [n/5] ≤ [n/6] - 2. Отсюда, получаем: ``` [n/5] ≤ [n/7] ≤ [n/6] - 2 [n/7] ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/5] ``` Теперь рассмотрим каждый случай отдельно и найдём количество n, для которых выполняются полученные неравенства. 1) Случай 1: [n/6] - 1 = [n/7] В этом случае имеем два подслучая: a) [n/7] ≤ [n/6] - 1 ≤ [n/5] Для этого неравенства возможны три варианта значений [n/7]: [n/7] = [n/6] - 1, [n/7] = [n/6], [n/7] = [n/6] + 1. - Когда [n/7] = [n/6], получаем [n/6] - 1 ≤ [n/6] ≤ [n/5], что выполняется, если 0 ≤ [n/6] ≤ [n/5]. Значит, для этого случая количество n равно [630/6] = 105. b) [n/7] ≤ [n/5] ≤ [n/6] - 1 Для этого неравенства единственный вариант значений [n/7] = [n/6] - 1. - Когда [n/7] = [n/6] - 1, получаем [n/7] ≤ [n/5] ≤ [n/6] - 1, что выполняется, если [n/6] - 1 ≤ [n/5] и [n/7] ≤ [n/6] - 1. Из неравенства [n/6] - 1 ≤ [n/5] следует, что 0 ≤ [n/6] - 1 ≤ [n/5]. Из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 1 следует, что [n/7] ≤ [n/6], то есть [n/6] - 1 ≥ [n/7] и [n/7] ≤ [n/6], что выполняется, если 0 ≤ [n/6] - 1 ≤ [n/7]. Значит, для этого случая количество n равно [630/7] = 90. Итак, в случае 1 получаем общее количество n равное 105 + 90 = 195. 2) Случай 2: [n/6] - 1 < [n/7] В этом случае имеется два подслучая: a) [n/7] ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/5] Для этого неравенства возможны три варианта значений [n/7]: [n/7] = [n/6] - 1, [n/7] = [n/6] - 2, [n/7] = [n/6] - 3. - Когда [n/7] = [n/6] - 1, получаем [n/7] ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/5], что выполняется, если [n/6] - 1 ≤ [n/5] и [n/7] ≤ [n/6] - 2. Из неравенства [n/6] - 1 ≤ [n/5] следует, что 0 ≤ [n/6] - 1 ≤ [n/5]. Из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 2 следует, что [n/7] ≤ [n/6], то есть [n/6] - 2 ≥ [n/7] и [n/7] ≤ [n/6], что выполняется, если 1 ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/7]. Значит, для этого случая количество n равно [630/6] - [630/7] + 1 = 105 - 90 + 1 = 16. - Когда [n/7] = [n/6] - 2, получаем [n/7] ≤ [n/6] - 3 ≤ [n/5], что выполняется, если [n/6] - 2 ≤ [n/5] и [n/7] ≤ [n/6] - 3. Из неравенства [n/6] - 2 ≤ [n/5] следует, что 1 ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/5]. Из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 3 следует, что [n/7] ≤ [n/6] - 2 и [n/6] - 3 ≥ [n/7], то есть [n/7] ≤ [n/6], что выполняется, если 1 ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/7]. Значит, для этого случая количество n равно [630/6] - [630/7] + 1 = 105 - 90 + 1 = 16. - Когда [n/7] = [n/6] - 3, получаем [n/7] ≤ [n/6] - 4 ≤ [n/5], что выполняется, если [n/6] - 3 ≤ [n/5] и [n/7] ≤ [n/6] - 4. Из неравенства [n/6] - 3 ≤ [n/5] следует, что 2 ≤ [n/6] - 3 ≤ [n/5]. Из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 4 следует, что [n/7] ≤ [n/6] - 3 и [n/6] - 4 ≥ [n/7], то есть [n/7] ≤ [n/6] - 3, что выполняется, если 1 ≤ [n/6] - 3 ≤ [n/7]. Значит, для этого случая количество n равно [630/6] - [630/7] + 1 = 105 - 90 + 1 = 16. b) [n/7] ≤ [n/5] ≤ [n/6] - 2 Для этого неравенства единственный вариант значений [n/7] = [n/6] - 2. - Когда [n/7] = [n/6] - 2, получаем [n/7] ≤ [n/5] ≤ [n/6] - 2, что выполняется, если [n/6] - 2 ≤ [n/5] и [n/7] ≤ [n/6] - 2. Из неравенства [n/6] - 2 ≤ [n/5] следует, что 1 ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/5]. Из неравенства [n/7] ≤ [n/6] - 2 следует, что [n/7] ≤ [n/6], то есть [n/6] - 2 ≥ [n/7] и [n/7] ≤ [n/6], что выполняется, если 1 ≤ [n/6] - 2 ≤ [n/7]. Значит, для этого случая количество n равно [630/7] - [630/6] + 1 = 90 - 105 + 1 = -14. Итак, в случае 2 получаем общее количество n равное 16 + (-14) = 2. Таким образом, для скольких натуральных чисел n, не превосходящих 630, тройки чисел [n/5], [n/6], [n/7] и [n+1/5], [n+1/6], [n+1/7] различны? Ответ: 195 чисел.
