cos(2*a)>0

$$cos{left (2 a right )} > 0$$

Дано неравенство:
$$cos{left (2 a right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos{left (2 a right )} = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 162.577419823$$
$$x_{12} = 69.9004365424$$
$$x_{13} = -25.9181393921$$
$$x_{14} = 63.6172512352$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = 87.1791961371$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = 41.6261026601$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{35} = -79.3252145031$$
$$x_{36} = -18.0641577581$$
$$x_{37} = -62.0464549084$$
$$x_{38} = 44.7676953137$$
$$x_{39} = 46.3384916404$$
$$x_{40} = -11.780972451$$
$$x_{41} = 27.4889357189$$
$$x_{42} = 1973.70558462$$
$$x_{43} = 85.6083998103$$
$$x_{44} = 32.2013246993$$
$$x_{45} = 74.6128255228$$
$$x_{46} = -63.6172512352$$
$$x_{47} = -76.1836218496$$
$$x_{48} = 18.0641577581$$
$$x_{49} = -99.7455667515$$
$$x_{50} = -60.4756585816$$
$$x_{51} = -90.3207887907$$
$$x_{52} = -16.4933614313$$
$$x_{53} = -69.9004365424$$
$$x_{54} = 88.7499924639$$
$$x_{55} = 3.92699081699$$
$$x_{56} = 11.780972451$$
$$x_{57} = 98.1747704247$$
$$x_{58} = -19.6349540849$$
$$x_{59} = 38.4845100065$$
$$x_{60} = 24.3473430653$$
$$x_{61} = 62.0464549084$$
$$x_{62} = -84.0376034835$$
$$x_{63} = -35.3429173529$$
$$x_{64} = -41.6261026601$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{66} = 82.4668071567$$
$$x_{67} = 96.6039740979$$
$$x_{68} = 25.9181393921$$
$$x_{69} = -27.4889357189$$
$$x_{70} = 384.059701901$$
$$x_{71} = -82.4668071567$$
$$x_{72} = -10.2101761242$$
$$x_{73} = -40.0553063333$$
$$x_{74} = -85.6083998103$$
$$x_{75} = -57.334065928$$
$$x_{76} = -98.1747704247$$
$$x_{77} = 47.9092879672$$
$$x_{78} = 16.4933614313$$
$$x_{79} = -12461.9126586$$
$$x_{80} = -3.92699081699$$
$$x_{81} = 68.3296402156$$
$$x_{82} = 19.6349540849$$
$$x_{83} = 5.49778714378$$
$$x_{84} = 99.7455667515$$
$$x_{85} = 52.6216769476$$
$$x_{86} = -24.3473430653$$
$$x_{87} = -68.3296402156$$
$$x_{88} = 55.7632696012$$
$$x_{89} = 91.8915851175$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 162.577419823$$
$$x_{12} = 69.9004365424$$
$$x_{13} = -25.9181393921$$
$$x_{14} = 63.6172512352$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = 87.1791961371$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = 41.6261026601$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{35} = -79.3252145031$$
$$x_{36} = -18.0641577581$$
$$x_{37} = -62.0464549084$$
$$x_{38} = 44.7676953137$$
$$x_{39} = 46.3384916404$$
$$x_{40} = -11.780972451$$
$$x_{41} = 27.4889357189$$
$$x_{42} = 1973.70558462$$
$$x_{43} = 85.6083998103$$
$$x_{44} = 32.2013246993$$
$$x_{45} = 74.6128255228$$
$$x_{46} = -63.6172512352$$
$$x_{47} = -76.1836218496$$
$$x_{48} = 18.0641577581$$
$$x_{49} = -99.7455667515$$
$$x_{50} = -60.4756585816$$
$$x_{51} = -90.3207887907$$
$$x_{52} = -16.4933614313$$
$$x_{53} = -69.9004365424$$
$$x_{54} = 88.7499924639$$
$$x_{55} = 3.92699081699$$
$$x_{56} = 11.780972451$$
$$x_{57} = 98.1747704247$$
$$x_{58} = -19.6349540849$$
$$x_{59} = 38.4845100065$$
$$x_{60} = 24.3473430653$$
$$x_{61} = 62.0464549084$$
$$x_{62} = -84.0376034835$$
$$x_{63} = -35.3429173529$$
$$x_{64} = -41.6261026601$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{66} = 82.4668071567$$
$$x_{67} = 96.6039740979$$
$$x_{68} = 25.9181393921$$
$$x_{69} = -27.4889357189$$
$$x_{70} = 384.059701901$$
$$x_{71} = -82.4668071567$$
$$x_{72} = -10.2101761242$$
$$x_{73} = -40.0553063333$$
$$x_{74} = -85.6083998103$$
$$x_{75} = -57.334065928$$
$$x_{76} = -98.1747704247$$
$$x_{77} = 47.9092879672$$
$$x_{78} = 16.4933614313$$
$$x_{79} = -12461.9126586$$
$$x_{80} = -3.92699081699$$
$$x_{81} = 68.3296402156$$
$$x_{82} = 19.6349540849$$
$$x_{83} = 5.49778714378$$
$$x_{84} = 99.7455667515$$
$$x_{85} = 52.6216769476$$
$$x_{86} = -24.3473430653$$
$$x_{87} = -68.3296402156$$
$$x_{88} = 55.7632696012$$
$$x_{89} = 91.8915851175$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$
Данные корни
$$x_{79} = -12461.9126586$$
$$x_{49} = -99.7455667515$$
$$x_{76} = -98.1747704247$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{51} = -90.3207887907$$
$$x_{74} = -85.6083998103$$
$$x_{62} = -84.0376034835$$
$$x_{71} = -82.4668071567$$
$$x_{35} = -79.3252145031$$
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{47} = -76.1836218496$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{53} = -69.9004365424$$
$$x_{87} = -68.3296402156$$
$$x_{46} = -63.6172512352$$
$$x_{37} = -62.0464549084$$
$$x_{50} = -60.4756585816$$
$$x_{75} = -57.334065928$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{64} = -41.6261026601$$
$$x_{73} = -40.0553063333$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{63} = -35.3429173529$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{69} = -27.4889357189$$
$$x_{13} = -25.9181393921$$
$$x_{86} = -24.3473430653$$
$$x_{58} = -19.6349540849$$
$$x_{36} = -18.0641577581$$
$$x_{52} = -16.4933614313$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{40} = -11.780972451$$
$$x_{72} = -10.2101761242$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{80} = -3.92699081699$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{55} = 3.92699081699$$
$$x_{83} = 5.49778714378$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{56} = 11.780972451$$
$$x_{78} = 16.4933614313$$
$$x_{48} = 18.0641577581$$
$$x_{82} = 19.6349540849$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{60} = 24.3473430653$$
$$x_{68} = 25.9181393921$$
$$x_{41} = 27.4889357189$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{44} = 32.2013246993$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{59} = 38.4845100065$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = 41.6261026601$$
$$x_{38} = 44.7676953137$$
$$x_{39} = 46.3384916404$$
$$x_{77} = 47.9092879672$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{85} = 52.6216769476$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{88} = 55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{61} = 62.0464549084$$
$$x_{14} = 63.6172512352$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{81} = 68.3296402156$$
$$x_{12} = 69.9004365424$$
$$x_{45} = 74.6128255228$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{66} = 82.4668071567$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{43} = 85.6083998103$$< br>$$x_{22} = 87.1791961371$$
$$x_{54} = 88.7499924639$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{89} = 91.8915851175$$
$$x_{67} = 96.6039740979$$
$$x_{57} = 98.1747704247$$
$$x_{84} = 99.7455667515$$
$$x_{11} = 162.577419823$$
$$x_{70} = 384.059701901$$
$$x_{42} = 1973.70558462$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{79}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{79} – frac{1}{10}$$
=
$$-12462.0126586$$
=
$$-12462.0126586$$
подставляем в выражение
$$cos{left (2 a right )} > 0$$
$$cos{left (2 a right )} > 0$$

cos(2*a) > 0

Тогда
$$x < -12461.9126586$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -12461.9126586 wedge x < -99.7455667515$$

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-ο——-
x79 x49 x76 x4 x65 x51 x74 x62 x71 x35 x1 x47 x7 x53 x87 x46 x37 x50 x75 x27 x29 x16 x9 x31 x64 x73 x30 x63 x20 x34 x69 x13 x86 x58 x36 x52 x6 x40 x72 x26 x80 x25 x19 x55 x83 x90 x21 x56 x78 x48 x82 x3 x60 x68 x41 x15 x44 x8 x59 x32 x33 x38 x39 x77 x24 x85 x18 x88 x28 x61 x14 x10 x81 x12 x45 x23 x5 x66 x17 x43 x22 x54 x2 x89 x67 x57 x84 x11 x70 x42

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -12461.9126586 wedge x < -99.7455667515$$
$$x > -98.1747704247 wedge x < -93.4623814443$$
$$x > -91.8915851175 wedge x < -90.3207887907$$
$$x > -85.6083998103 wedge x < -84.0376034835$$
$$x > -82.4668071567 wedge x < -79.3252145031$$
$$x > -77.7544181763 wedge x < -76.1836218496$$
$$x > -71.4712328692 wedge x < -69.9004365424$$
$$x > -68.3296402156 wedge x < -63.6172512352$$
$$x > -62.0464549084 wedge x < -60.4756585816$$
$$x > -57.334065928 wedge x < -55.7632696012$$
$$x > -54.1924732744 wedge x < -49.480084294$$
$$x > -47.9092879672 wedge x < -46.3384916404$$
$$x > -41.6261026601 wedge x < -40.0553063333$$
$$x > -38.4845100065 wedge x < -35.3429173529$$
$$x > -33.7721210261 wedge x < -32.2013246993$$
$$x > -27.4889357189 wedge x < -25.9181393921$$
$$x > -24.3473430653 wedge x < -19.6349540849$$
$$x > -18.0641577581 wedge x < -16.4933614313$$
$$x > -13.3517687778 wedge x < -11.780972451$$
$$x > -10.2101761242 wedge x < -5.49778714378$$
$$x > -3.92699081699 wedge x < -2.35619449019$$
$$x > 2.35619449019 wedge x < 3.92699081699$$
$$x > 5.49778714378 wedge x < 8.63937979737$$
$$x > 10.2101761242 wedge x < 11.780972451$$
$$x > 16.4933614313 wedge x < 18.0641577581$$
$$x > 19.6349540849 wedge x < 22.7765467385$$
$$x > 24.3473430653 wedge x < 25.9181393921$$
$$x > 27.4889357189 wedge x < 30.6305283725$$
$$x > 32.2013246993 wedge x < 33.7721210261$$
$$x > 38.4845100065 wedge x < 40.0553063333$$
$$x > 41.6261026601 wedge x < 44.7676953137$$
$$x > 46.3384916404 wedge x < 47.9092879672$$
$$x > 49.480084294 wedge x < 52.6216769476$$
$$x > 54.1924732744 wedge x < 55.7632696012$$
$$x > 60.4756585816 wedge x < 62.0464549084$$
$$x > 63.6172512352 wedge x < 66.7588438888$$
$$x > 68.3296402156 wedge x < 69.9004365424$$
$$x > 74.6128255228 wedge x < 76.1836218496$$
$$x > 77.7544181763 wedge x < 82.4668071567$$
$$x > 84.0376034835 wedge x < 85.6083998103$$
$$x > 87.1791961371 wedge x < 88.7499924639$$
$$x > 90.3207887907 wedge x < 91.8915851175$$
$$x > 96.6039740979 wedge x < 98.1747704247$$
$$x > 99.7455667515 wedge x < 162.577419823$$
$$x > 384.059701901 wedge x < 1973.70558462$$

/ pi
And|-oo < a, a < --| 4 /

$$-infty < a wedge a < frac{pi}{4}$$

pi
(-oo, –)
4

$$x in left(-infty, frac{pi}{4}right)$$