log(1)*1/6*x^4

$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq 64 left(- x^{2} + 3right)^{6} – 1$$

Дано неравенство:
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq 64 left(- x^{2} + 3right)^{6} – 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} = 64 left(- x^{2} + 3right)^{6} – 1$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{14}}{2}$$
$$x_{4} = frac{sqrt{14}}{2}$$
$$x_{5} = – sqrt{frac{11}{4} – frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{6} = sqrt{frac{11}{4} – frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{7} = – sqrt{frac{11}{4} + frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{8} = sqrt{frac{11}{4} + frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{9} = – sqrt{frac{13}{4} – frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{10} = sqrt{frac{13}{4} – frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{11} = – sqrt{frac{13}{4} + frac{sqrt{3} i}{4}}$$
$$x_{12} = sqrt{frac{13}{4} + frac{sqrt{3} i}{4}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = – frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{14}}{2}$$
$$x_{4} = frac{sqrt{14}}{2}$$
Данные корни
$$x_{3} = – frac{sqrt{14}}{2}$$
$$x_{1} = – frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x_{4} = frac{sqrt{14}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} – frac{1}{10}$$
=

____
/ 14 1
– —— – —
2 10

=
$$- frac{sqrt{14}}{2} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} frac{1}{6} log{left (1 right )} leq 64 left(- x^{2} + 3right)^{6} – 1$$

6
4 / 2
/ ____ | / ____ |
log(1) | / 14 1 | | | / 14 1 | |
——*|- —— – –| <= 64*|3 - |- ------ - --| | - 1 6 2 10/ 2 10/ /

6
/ 2
| / ____ |
0 <= | | 1 / 14 | | -1 + 64*|3 - |- -- - ------| | 10 2 / /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{sqrt{14}}{2}$$

_____ _____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x3 x1 x2 x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{sqrt{14}}{2}$$
$$x geq – frac{sqrt{10}}{2} wedge x leq frac{sqrt{10}}{2}$$
$$x geq frac{sqrt{14}}{2}$$

$$left(- frac{sqrt{10}}{2} leq x wedge x leq frac{sqrt{10}}{2}right) vee left(x leq – frac{sqrt{14}}{2} wedge -infty < xright) vee left(frac{sqrt{14}}{2} leq x wedge x < inftyright)$$

____ ____ ____ ____
-/ 14 -/ 10 / 10 / 14
(-oo, ——–] U [——–, ——] U [——, oo)
2 2 2 2

$$x in left(-infty, – frac{sqrt{14}}{2}right] cup left[- frac{sqrt{10}}{2}, frac{sqrt{10}}{2}right] cup left[frac{sqrt{14}}{2}, inftyright)$$