9^x+14>3^(x+2)

$$9^{x} + 14 > 3^{x + 2}$$

Дано неравенство:
$$9^{x} + 14 > 3^{x + 2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$9^{x} + 14 = 3^{x + 2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$9^{x} + 14 = 3^{x + 2}$$
или
$$- 3^{x + 2} + 9^{x} + 14 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} – 9 v + 14 = 0$$
или
$$v^{2} – 9 v + 14 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -9$$
$$c = 14$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-9)^2 – 4 * (1) * (14) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 7$$
$$v_{2} = 2$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
=
$$frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$9^{x} + 14 > 3^{x + 2}$$
$$14 + 9^{frac{19}{10}} > 3^{frac{19}{10} + 2}$$

4/5 9/10
14 + 27*3 > 27*3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2$$
$$x > 7$$

/ / log(2) / log(7)
Or|And|-oo < x, x < ------|, And|x < oo, ------ < x|| log(3)/ log(3) //

$$left(-infty < x wedge x < frac{log{left (2 right )}}{log{left (3 right )}}right) vee left(x < infty wedge frac{log{left (7 right )}}{log{left (3 right )}} < xright)$$

log(2) log(7)
(-oo, ——) U (——, oo)
log(3) log(3)

$$x in left(-infty, frac{log{left (2 right )}}{log{left (3 right )}}right) cup left(frac{log{left (7 right )}}{log{left (3 right )}}, inftyright)$$