2^x+7=y^2

$$2^{x} + 7 = y^{2}$$

Дано уравнение:
$$2^{x} + 7 = y^{2}$$
или
$$- y^{2} + 2^{x} + 7 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v – y^{2} + 7 = 0$$
или
$$v – y^{2} + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:

2
v – y = -7

Разделим обе части ур-ния на (v – y^2)/v

v = -7 / ((v – y^2)/v)

Получим ответ: v = -7 + y^2
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = frac{log{left (y^{2} – 7 right )}}{log{left (2 right )}} = frac{log{left (y^{2} – 7 right )}}{log{left (2 right )}}$$

$$x_{1} = frac{log{left (left|{y^{2} – 7}right| right )}}{log{left (2 right )}} + frac{i arg{left (y^{2} – 7 right )}}{log{left (2 right )}}$$