log(1/8)*1/log(x-5)>=-1

$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} geq -1$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} geq -1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} = -1$$
преобразуем
$$1 – frac{log{left (8 right )}}{log{left (x – 5 right )}} = 0$$
$$1 + frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x – 5 right )}$$
Дано уравнение:
$$1 + frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -log(8)

b1 = log(-5 + x)

a2 = 1

b2 = -1

зн. получим ур-ние
$$-1 left(- log{left (8 right )}right) = log{left (x – 5 right )}$$
$$log{left (8 right )} = log{left (x – 5 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log8 = log(-5 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log8 = log-5+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x – 5 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x – 5 right )} = w$$
$$log{left (x – 5 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w
–
1
x – 5 = e

упрощаем
$$x – 5 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 5$$
подставляем w:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{1} = 13$$
Данные корни
$$x_{1} = 13$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{129}{10}$$
=
$$frac{129}{10}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (x – 5 right )}} geq -1$$
$$frac{log{left (frac{1}{8} right )}}{log{left (-5 + frac{129}{10} right )}} geq -1$$

-log(8)
—————— >= -1
-log(10) + log(79)

но

-log(8)
—————— < -1 -log(10) + log(79)

Тогда
$$x leq 13$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x geq 13$$

_____
/
——-•——-
x1

$$13 leq x wedge x < infty$$

[13, oo)

$$x in left[13, inftyright)$$