log(5-x)*1/log(6*x-x^2-8)>=log(4*x^2-17*x+20)*1/log(6*x-x^2-8)

$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} geq frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} geq frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} = frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} = frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}}$$
преобразуем
$$frac{log{left (- x + 5 right )} – log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} = 0$$
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} – frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} – frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(5 – x)

b1 = log(-8 – x^2 + 6*x)

a2 = log(20 – 17*x + 4*x^2)

b2 = log(-8 – x^2 + 6*x)

зн. получим ур-ние
$$log{left (- x + 5 right )} log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )} = log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )} log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}$$
$$log{left (- x + 5 right )} log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )} = log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )} log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log5+xlog-8+x+2+6*x = log(-8 – x^2 + 6*x)*log(20 – 17*x + 4*x^2)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log5+xlog-8+x+2+6*x = log-8+x+2+6*xlog20+17*x+4*x+2

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

log(5 – x)*log(-8 – x^2 + 6*x) = log-8+x+2+6*xlog20+17*x+4*x+2

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

log(5 – x)*log(-8 – x^2 + 6*x) = log(-8 – x^2 + 6*x)*log(20 – 17*x + 4*x^2)

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

/ 2 / 2 / 2
8 + log(5 – x)*log -8 – x + 6*x/ = 8 + log -8 – x + 6*x/*log20 – 17*x + 4*x /

Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:

/ 2 / 2 / 2
8 + 17*x + log(5 – x)*log -8 – x + 6*x/ = 8 + 17*x + log -8 – x + 6*x/*log20 – 17*x + 4*x /

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{5}{2}$$
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{5}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{3}{2}$$
$$x_{2} = frac{5}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{7}{5}$$
=
$$frac{7}{5}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (- x + 5 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}} geq frac{log{left (4 x^{2} – 17 x + 20 right )}}{log{left (- x^{2} + 6 x – 8 right )}}$$

/ 2 17*7
log|4*7/5 – —- + 20|
log(5 – 7/5) 5 /
——————– >= ———————–
1/6*7 2 1/6*7 2
log |— – 7/5 – 8| log |— – 7/5 – 8|
5 / 5 /

-log(5) + log(18) -log(25) + log(101)
————————- >= ————————-
-log(25) + pi*I + log(39) -log(25) + pi*I + log(39)

Тогда
$$x leq frac{3}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq frac{3}{2} wedge x leq frac{5}{2}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$frac{3}{2} leq x wedge x < 3$$

[3/2, 3)

$$x in left[frac{3}{2}, 3right)$$