1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С угол В равен 30°. В этот треугольник вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке Р, а катетов СВ и СА в точках Е и Н соответственно. На дуге РН выбрана точка К и проведена касательная к окружности в этой точке. Эта касательная пересекает АВ в точке М и АС – в точке T. а) В каком отношении точки Р, Е и Н делят окружность?

Сначала нужно найти отношение, в котором точки Р, Е и Н делят окружность.

1. Обозначим радиус окружности как r.
2. Так как окружность касается гипотенузы АВ в точке Р, то длина отрезка РН равна r.
3. Также известно, что РЕ и РН – касательные к окружности, поэтому РЕ и РН равны друг другу.
4. Пусть длина отрезка РЕ (или РН) равна x.
5. Тогда длина отрезка ЕН (или РМ) равна r – x.
6. Так как АС и СВ – катеты прямоугольного треугольника, то ЕА равно НВ.
7. Обозначим длину отрезка ЕА (или НВ) как y.
8. Тогда длина отрезка АC (или ВС) равна 2y.
9. В треугольнике АЕС мы знаем длины сторон ЕА, АС и СР (равна r), поэтому по теореме Пифагора можем найти длину отрезка ES: x^2 + y^2 = (2y)^2.
10. Раскрываем скобки: x^2 + y^2 = 4y^2.
11. Так как x = r, получаем следующее уравнение: r^2 + y^2 = 4y^2.
12. Переносим r^2 на другую сторону и упрощаем: 3y^2 = r^2.
13. Разделим обе части уравнения на y^2: 3 = (r/y)^2.
14. Возьмем квадратный корень от обеих частей и получим: √3 = r/y.
15. Таким образом, отношение точек Р, Е и Н, которыми они делят окружность, равно √3 : 1 : 1.

Ответ: Точки Р, Е и Н делят окружность в отношении √3 : 1 : 1.