1. В тетраэдре NMEF точки А, В, С – середины рёбер MN, NE и NF. Докажите, что плоскость АВС параллельна плоскости MEF, и найдите площадь Д MEF, если площадь Д АВС равна 36 см.

Чтобы доказать, что плоскость АВС параллельна плоскости MEF, нам нужно показать, что векторы AB и EF параллельны.

1. Построим векторы AB и EF.
Вектор AB = B – A = (МN/2) – (NE/2) = (МN – NE)/2.
Вектор EF = F – E = NE – NF.

2. Покажем, что AB и EF параллельны.
Если векторы AB и EF параллельны, то их векторное произведение будет равно нулю.
AB × EF = ((MN – NE)/2) × (NE – NF)
= (MN × NE – MN × NF – (NE × NE) + (NE × NF))/2
= (NE × (MN – NF) – (NE × NE))/2.

Так как MN = 2NE (по условию), то
AB × EF = (NE × (2NE – NF) – (NE × NE))/2
= (NE × (2NE) – NE × NF – (NE × NE))/2
= (2(NE × NE) – NE × NF – (NE × NE))/2
= 0.

Получили, что AB × EF = 0, что означает, что векторы AB и EF параллельны. Следовательно, плоскость АВС параллельна плоскости MEF.

3. Найдем площадь ΔMEF.
Построим высоту MH из вершины M на отрезок EF. Так как плоскость АВС параллельна плоскости MEF, то MH будет проходить параллельно отрезку AB.

Обозначим площадь ΔMEF через S. Площадь Δ MEF равна половине площади параллелограмма MHFE, поскольку MHFE и ΔMEF имеют одну высоту и одну базу (отрезок EF).
S = (1/2) * площадь MHFE.

Так как MHFE – параллелограмм, то его площадь равна произведению длины основания на высоту:
S = (1/2) * EF * MH.

Но EF = NE – NF (из построения векторов), а NE = 2AB (из условия).
Поэтому EF = 2AB – NF.

Также, MH = HE = NE – NH = NE – NE/2 = NE/2.

Подставим значения EF и MH:
S = (1/2) * (2AB – NF) * (NE/2)
= (AB – NF/2) * NE
= (AB – NE/2) * NE.

Площадь ΔАВС равна 36 см². Длина основания AB равна NE и, следовательно, MF (так как А, В и С – середины их соответствующих ребер). Поэтому, AB = MF.

Подставим в площадь ΔMEF и найдем ее значение:
S = (MF – NE/2) * NE
= (MF * NE – (NE/2)^2).

Площадь ΔАВС равна 36 см², значит, MF * NE = 72.
Подставим это значение:
S = (72 – (NE/2)^2).

Мы знаем, что NE = 2AB, поэтому NE/2 = AB.
S = (72 – AB^2).

Теперь, если известна площадь ΔАВС (равная 36 см²), мы можем найти площадь ΔMEF:
S = (72 – AB^2) = 36.

Таким образом, площадь ΔMEF равна 36 см².