1.Выполните чертеж куб АВСДА1В1С1Д1 . По чертежу укажите: а) прямые параллельные для прямой АД; б) прямые скрещивающиеся с прямой ; в) плоскости параллельные прямой АВ. г)Пересекаются ли прямые B1D и BC? B1D и A1C1? д)Найти: 3 пары параллельных прямых, 3 пары скрещивающихся прямых, 3 пары пересекающихся прямых ; е)А1В1 линией пересечения каких плоскостей является; ж)Найти S∆ECF если Е – середина СС1, F-середина ВС, а сторона куба равна корень из 7

а) Прямые, параллельные прямой АД, будут параллельными ребрами куба АВСДА1В1С1Д1, то есть ребрами АВ и СД.

б) Прямые, скрещивающиеся с прямой АД, будут пересекать ребра куба АВСДА1В1С1Д1 перпендикулярно. Например, прямые, параллельные ребрам АВ и СД, будут скрещиваться с прямой АД.

в) Плоскости, параллельные прямой АВ, будут параллельными гранями куба АВСДА1В1С1Д1, то есть гранями ABCD и A1B1C1D1.

г) Прямые B1D и BC пересекаются, так как они лежат в разных плоскостях (ABC и A1B1C1).

Прямые B1D и A1C1 не пересекаются, так как они лежат в параллельных плоскостях (ABCD и A1B1C1D1).

д) 3 пары параллельных прямых:
– АВ и СД;
– В1С1 и АД;
– А1В1 и CD.

3 пары скрещивающихся прямых:
– АД, АВ и А1D1;
– В1С1, СД и ВВ1;
– А1B1, С1D1 и В1A1.

3 пары пересекающихся прямых:
– АВ и CD;
– В1С1 и A1D1;
– АД и BC.

е) A1B1 линией пересечения является линией пересечения граней ABCD и A1B1C1D1.

ж) Для нахождения площади треугольника ∆ECF, нам необходимо знать длину его сторон.

Так как E – середина СС1, то EE1 = 1/2 * СС1. Так как сторона куба равна корню из 7, то EE1 = 1/2 * √7.

F – середина ВС, и так как сторона куба равна корню из 7, то FF1 = 1/2 * √7.

Таким образом, стороны треугольника ∆ECF равны √7, 1/2 * √7 и 1/2 * √7.

Используя формулу Герона, мы можем найти площадь ∆ECF:

S∆ECF = √(p * (p – a) * (p – b) * (p – c)),

где p – полупериметр (p = (a + b + c) / 2) и a, b, c – стороны треугольника.

Подставляя значения, получим:

p = (√7 + 1/2 * √7 + 1/2 * √7) / 2 = 9/4 * √7,

S∆ECF = √((9/4 * √7) * (9/4 * √7 – √7) * (9/4 * √7 – 1/2 * √7) * (9/4 * √7 – 1/2 * √7)) = 9/16 * 7 = 63/16.

Таким образом, площадь треугольника ∆ECF равна 63/16.