а) Для доказательства того, что AMNC – трапеция, необходимо показать, что прямая MN || AC. Воспользуемся свойством серединного перпендикуляра, согласно которому серединный перпендикуляр к отрезку является его второй половиной.
Так как M и N – середины сторон AB и BC, то AM = MB и CN = NB. Значит, треугольники AMB и BNC – равнобедренные. Из равнобедренности следует, что у них углы при основании равны. То есть, AMB ≈ BNC.
Также из условия задачи следует, что треугольники ABC и AMN – равнобедренные, так как AM = AB/2 и AN = AC/2. Из равнобедренности следует, что у них углы при основании равны. То есть, ABC ≈ AMN.
Из равенства углов ABC ≈ AMN и ABM ≈ BNC следует, что углы MBN и MNB также равны, так как являются вертикальными.
Таким образом, MN и AC параллельны, и, следовательно, трапеция AMNC. Доказательство завершено.
б) Чтобы найти периметр AKMS, нужно сложить длины всех его сторон: AM + MS + SK + KA.
По условию задачи, AM = MB = 10 см.
Треугольник AMS – равнобедренный, так как AM = MS. Значит, KM – серединный перпендикуляр к AS. Из этого следует, что AMK ≈ MSK. А значит, MS = MK = BM/2 = 10/2 = 5 см.
Треугольник KAS – равнобедренный, так как KA = AS. Значит, AS = KS.
Тогда периметр AKMS равен: AM + MS + SK + KA = 10 + 5 + AS + AS = 10 + 5 + 2AS.
Нам нужно найти AS. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2.
Подставляем данные: 14^2 = AB^2 + 10^2.
Решаем уравнение: AB^2 = 196 – 100 = 96.
Извлекаем корень: AB = sqrt(96) = 4√6.
Так как AM = AB/2, то AM = 4√6/2 = 2√6.
Теперь можем найти AS: AS = AM – MS = 2√6 – 5.
И периметр AKMS: 10 + 5 + 2AS = 10 + 5 + 2(2√6 – 5) = 20 + 4√6 – 10 = 10 + 4√6.
Ответ: периметр AKMS равен 10 + 4√6 см.