Обозначим длину ребра СС1 как h. Так как точка Р является серединой ребра СС1, то РС = С1С = 0.5h.
Также заметим, что скрещивающиеся прямые АР и АВ1 параллельны боковой грани АВС1В1, поэтому треугольники АРС и АВ1С1 равны по стороне и противолежащему углу, следовательно, треугольники АРС и АВ1С1 подобны.
Из подобия треугольников получаем:
AR/АV1 = С1С/В1С1 = 0.5h/h = 0.5.
Так как расстояние между прямыми АР и АВ1 равно 1, то AR/(АR+1) = 0.5. Отсюда находим АR = 1, следовательно, AV1 = 1+AR = 2.
Теперь рассмотрим пирамиду АРС1С, которая является половиной призмы АВСА1В1С1. Высота этой пирамиды равна PC1 = С1С = 0.5h, а основание – треугольник АРС, в котором AB = AC = 2 (так как AV1 = 2).
Используя формулу объема пирамиды, вычислим объем пирамиды АРС1С:
V_пирам. = (1/3) * S_осн. * h_пир,
где S_осн. – площадь основания пирамиды, h_пир – высота пирамиды.
Площадь треугольника АРС:
S_осн. = (1/2) * AB * AC * sin(∠ВАС) = (1/2) * 2 * 2 * sin(a) = 2sin(a).
Теперь можем записать объем пирамиды:
V_пирам. = (1/3) * (2sin(a)) * 0.5h = sin(a) * 0.33h.
Так как пирамида АРС1С является половиной призмы АВСА1В1С1, то и объем призмы равен удвоенному объему пирамиды:
V_призма = 2 * V_пирам. = 2sin(a) * 0.33h.
В итоге, объем призмы равен 2sin(a) * 0.33h.